Matematik
Integral og cirkel opgaver
1) 3.rod(x) dx
2) ((x^2)+1)/((x^3)+3x+2) dx
3) x*cos(2x) dx
Så vidt jeg kan se er det kun i 3 man skal bruge substitution eller partiel integration?
Så en anden opgave.
Parabel
y=x^2-4
cirkel
x^2 + y^2 - 4y -21 = 0
Beregn koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og parablen.
Altså overvejede at sætte parablens ligning ind i cirklens ligning for y, men så får jeg en 4.gradsligning, som jeg ikke ved hvordan jeg skal løse. Så hvordan gør jeg egentlig?
Svar #1
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
3.rod(x) = x^(1/3)
S[x^n]dx = 1/(n+1)*x^(n+1) + C, n ej lig -1.
ad 2)
Integration ved substitution;
Sæt t = x^3 + 3x + 2
ad 3)
Partiel integration.
Vink til cirkelopgaven:
y = x^2 - 4 <=> x^2 = y + 4
//Epsilon
Svar #2
19. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Hmm synes ikke det hjalp. Det er vel det samme som at indsætte y=x^2 -4 på y's plads?
Så vidt jeg kan se, skal der være 4 løsninger.
Har ikke fået regnet på de andre, da jeg vil til at seng nu, men kigger på det imorgen.
Men tak for det hurtige svar!
Svar #3
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Tja, hvad nu hvis du indsætter y + 4 i stedet for x^2? Det er såmænd, hvad vinket lægger op til :-)
Der er ganske rigtigt 4 skæringspunkter. Formelt viser dette sig ved, at den fremkomne andengradsligning i y har 2 løsninger; hver af disse giver anledning til to værdier af x (via x^2 = y + 4). Eftersom cirklens centrum og parablens toppunkt begge er indeholdt i andenaksen, vil skæringspunkterne ligge parvis symmetrisk om denne.
Epsilon signing off for now...
//Epsilon
Svar #4
19. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Men kan du ikke vise hvordan du gør i 1 og 2? Vi har kun haft om partiel i 45 min og aldrig lært om substitution.
Svar #5
19. september 2005 af Epsilon (Slettet)
I 1 skal man ikke bruge substitution. I må i undervisningen have set, at
S[x^n]dx = 1/(n+1)*x^(n+1) + C (1)
for n != -1 (!= er logisk 'not equal to'). C er en reel integrationskonstant.
Eftervis ved differentiation, at højresiden af (1) vitterlig er en stamfunktion til x^n. Brug dernæst (1) med n = 1/3.
Det virker underligt, at I er blevet konfronteret med integraler, som lægger op til substitution, hvis ikke I har lært den integrationsmetode.
Vi skal bestemme
S[(x^2 + 1)/(x^3 + 3x + 2)]dx
Ved substitution gælder det om at være på udkig efter funktioner og deres differentialkvotienter i integranden.
Ovenfor observerer vi, at
d/dx[x^3 + 3x + 2] = 3(x^2 + 1)
Bortset fra en konstant er dette tællerpolynomiet i integranden. Vi indfører nu en ny integrationsvariabel t i den forstand, at vi substituerer
t = x^3 + 3x + 2
Så er dt/dx = 3(x^2 + 1) og dermed
1/3*dt/dx = x^2 + 1
Indsættes dette, så står at læse;
S[(x^2 + 1)/(x^3 + 3x + 2)]dx =
S[(1/3*dt/dx)/t]dx =
1/3*S[(1/t)*dt/dx]dx
(1/3 er blot en konstant og kan derfor flyttes ud foran integralet).
Det vil føre for vidt, hvis vi skal gennemgå de teoretiske argumenter bag, så vi snyder lidt her og regner, som om dt/dx er en brøk (hvilket det ikke er - dt og dx er jo ikke tal);
dt/dx*dx = dt (2)
Så
S[(x^2 + 1)/(x^3 + 3x + 2)]dx
1/3*S[(1/t)*dt/dx]dx =
1/3*S[1/t]dt =
1/3*ln|t| + C =
1/3*ln|x^3 + 3x + 2| + C
hvor C er en reel konstant.
(2) er altså ikke noget bevis for integration ved substitution, men en god måde at huske metoden på i praktiske opgaver. En forklaring på, at den tvivlsomme omskrivning (2) giver et korrekt resultat, er, at 'dt' og 'dx' i en vis forstand kan opfattes som "uendeligt små (infinitesimale)" tal, og at det er muligt at give mening til udregninger med sådanne størrelser.
//Epsilon
Svar #6
20. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Mange tak for den lange og dybe forklaring! Vi har først lige haft om det idag, og synes det giver meget god mening det du skriver, selvom det er ret avanceret.
Jeg har dog nogle problemer med d/dx osv. Har altid set det som noget man bare skulle skrive, men her kan jeg se vi skal beregne med det.
fx giver det for mig ikke mening at d/dx og dt/dx giver det samme. Ved ikke om du kan følge mig og hvorfor du kalder dem som du gør?
Nå jo. Min lærer gav et hint at: (x^2+1)*(x^3 + 3x + 2)^-1 Men det giver måske bare det samme?
Lad os vente til 3) lidt endnu :)
Svar #7
21. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Når jeg i #5 skriver
d/dx[x^3 + 3x + 2]
mener jeg blot, at man skal differentiere indholdet af parentesen med hensyn til x. Formelt kalder man 'd/dx' for en differentialoperator; det er en instruktion om at differentiere det efterfølgende udtryk (i klammen ovenfor) med hensyn til x. Jeg skal understrege, at der _er_ tale om standardnotation; d/dx[f(x)] (oftere: df/dx) bruges helt synonymt med f'(x). Det er blot alternativ notation. Analogt hermed læses 'dt/dx': 'differentialkvotienten af t med hensyn til x.' Forinden havde jeg defineret t = x^3 + 3x + 2.
Umiddelbart vil jeg tro, at din lærers vink havde til hensigt at lede tankerne hen på differentialkvotienten af en sammensat funktion. Hvis vi nu skriver
(x^2+1)*(x^3 + 3x + 2)^(-1) =
1/3*(3x^2 + 3)*(x^3 + 3x + 2)^(-1)
da genkender vi dette som den afledede af
F(g(x)) = 1/3*ln|x^3 + 3x + 2|
hvor
F(x) = 1/3*ln|x|, g(x) = x^3 + 3x + 2
Den afledede af F(g(x)) er jo netop
d/dx[F(g(x))] = F'(g(x))*g'(x) = f(g(x))*g'(x)
Således er
S[f(g(x))*g'(x)]dx =
S[(x^2 + 1)/(x^3 + 3x + 2)]dx =
1/3*ln|x^3 + 3x + 2| + C
for en vilkårlig reel konstant, C.
//Epsilon
Svar #8
21. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Imens jeg vil tænke lidt mere over den ,håbede jeg du kunne hjælpe med 3). Som sædvanligt har jeg også lavet den forkert.
S[x*cos(2x)] dx
F(x)*g(x)-S[F(x)*g'(x)]dx
f(x)=cos(2x) , g(x)=x
sin(2x)*x - S[sin(2x)*1] dx =
sin(2x)*x + cos(2x)*x
Svar #9
21. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det er ikke så ligetil at lave fejl 'som sædvanligt', hvis du ikke har regnet opgaven tidligere.
En stamfunktion til cos(2x) er ikke sin(2x); du glemmer en frontfaktor.
d/dx[sin(2x)] = 2*cos(2x) =>
d/dx[1/2*sin(2x)] = cos(2x)
(faktoren 1/2 er blot en konstant og kan uden videre trækkes 'gennem' differentialoperatoren). Heraf ses per definition af en stamfunktion, at
1/2*sin(2x)
er en stamfunktion til cos(2x).
Du repeterer bestemmelsen af integralet.
//Epsilon
Svar #10
21. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Ellers vil jeg sige tak for hjælpen! Skal dog helt sikkert have øvet noget mere på det.
Svar #11
21. september 2005 af Epsilon (Slettet)
I #5 skifter vi integrationsvariabel fra x til t, via substitutionen t = x^3 + 3x + 2. Netop her:
1/3*S[(1/t)*dt/dx]dx =
1/3*S[1/t]dt =
bruger vi (2); dt/dx*dx = dt. 'dt' er blot en infinitesimal tilvækst i variablen t (parallelt med, hvad 'dx' er for variablen x). Andet er der såmænd ikke i det.
//Epsilon
Svar #12
22. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Har lige afleveret den, men er blevet i tvivl om metoden egentlig er rigtig. Opgaven gik ud på at bestemme det bestemte integrale for 0 til 2. Jeg har dog lige lagt mærke til at de nye grænser bliver g(a) og g(b), mens jeg bare har brugt "1/3*ln|x^3 + 3x + 2|" med 0 og 2 som grænser, som så gav ln(2).
Har jeg løst opgaven forkert, eller bare på en alternativ måde så?
Svar #13
22. september 2005 af Epsilon (Slettet)
Det burde du vist lige have fortalt. Men eftersom du tydeligvis først har indsat grænserne x = 0 hhv. x = 2 i denne stamfunktion:
1/3*ln|x^3 + 3x + 2|
er ingen skade sket. Det er korrekt, at
2
S[(x^2 + 1)/(x^3 + 3x + 2)]dx = ln(2)
0
Det er valgfrit, om man vil indsætte de oprindelige grænser i ovenstående stamfunktion _eller_ bestemme de nye grænser;
g(0) = 0^3 + 3*0 + 2 = 2
g(2) = 2^3 + 3*2 + 2 = 16
og indsætte disse i stamfunktionen
1/3*ln|t|
Begge dele er korrekt. Det eneste, man skal være opmærksom på, er, at g(a) hhv. g(b) refererer til substituenten t (her: t = x^3 + 3x + 2), mens a og b refererer til integrationsvariablen, x.
//Epsilon
Svar #14
23. september 2005 af Epsilon (Slettet)
//Epsilon
Svar #15
23. september 2005 af Mads123 (Slettet)
Skriv et svar til: Integral og cirkel opgaver
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.