Gør rede for et minimum

Du skal kigge på monotoniforholdene..

Generelt

f '(x)  benyttes til at beregne ekstremumspunkter (minimum eller maximum)

                Disse opfylder f '(x) = 0.

Herudfra fastlægges monotoniintervalerne. Fortegnsvariationen for f '(x) i disse intervaller fastlægger monotonien for f(x).

Hvis
                   f '(x) > 0 ∀x ∈ I, er f voksende i I.

Hvis

                  f '(x) < 0 ∀x ∈ I, er f aftagende i I.

Hvis
                  f '(x) = 0 ∀x ∈ I, er f konstant i I.

Hvad er f() ?

Linie 2:  jaah, eller også har den et maximum.

er det det med tallinjen?

Jeg har vedhæftet opgaven.

Af tallinjen ses

          f ' (x) < 0 ∀x ∈ ]-∞,2[

          f ' (x)  > 0 ∀x ∈ ]2,∞[

                      Derfor må der være et globalt minimum

                        i punktet x = 2

jeg kan godt se det, men forstår det ikke.

Kender ikke til disse tegn: ∀∈

Oversat

for alle x, der tilhører

F(x) kan have et minimum eller et maximum, hvor f'(x) = 0.

Hvor f'(x) skifter fortegn fra minus til plus, er der et lokalt minimum, ( x = 2 ).  Dette er det eneste punkt på din tallinie, hvor det gælder, så dette punkt må være et globalt minimum.

Tegn grafen, så kan du se det.

# 5 

f ´(- 3) = 0       hvor     - 3 ∈ ]-∞ ; 2[

Konklusionen gælder ikke altid.

f(x) kunne gå mod minus uendelig for x gående mod 2 ,

men gør det så ikke i opgaven her.

Du har ret :) ...

Sorry. Funktionen er en 4.grads funktion, men princippet er det samme.

Resten gælder ikke til opgaven her.

Funktionen er ikke vanskelig at konstruere.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f´(x) = 3ax² + 2bx + c

f´´(x) = 6ax + 2b

Vi ved, at

f(2) =  - 4

f´(- 3) = f´(2) = 0

f´´(- 3) = 0

samt kendskab til monotonivariationen.

Det er da muligt, ved indsættelse, at finde koefficienterne a, b, c og d.

#11:  Der er jo mange funktioner, der har samme monitoniforhold, nulpunkter, osv., som specificeret i opgaven.

f(x) behøver jo ikke at være et "klokkerent" 3. grads polynomium

# 11 og 12

Se venligst bort fra # 11.

# 0 Funktionen er af samme model som

g(x) = 4x³(x - 1)

hvor rødder og koefficient skal tilpasses til f.

Eller:

g(x) = ax² + bx + c + d*sin( ex + f )  ?

Men jeg forstår godt hvad du mener   :)

f(x)  =  (³/₃₂₈·k + ³/₈₂)·x⁴ + (²/₄₁·k + ⁸/₄₁)·x³ - (⁹/₁₆₄·k + ⁹/₄₁)·x² - (²⁷/₄₁·k + ¹⁰⁸/₄₁)·x  + k                 k ∈ R

Matematik er en lidenskab. Ka' ik' la' vær'.

Undskyld, Jensen, er bange for, du er stået af.

Vedhæftet

For andre værdier af k, leveres gerne en graf.

Rettelse  # 15 og 16          k tilhører ikke alle reelle tal.  k > - 4

#15 du har fuldstændig ret! hahahaha :D

men tak for jeres tid og jeres svar. Jeg prøver at kigge dem grundtigt igennem i morgen ;)

#9

Hvis funktionen gik mod -∞ for x gående mod 2, ville funktionen ikke være differentiabel i 2 . Den forelagte funktion er differentiabel i 2.

Funktionen er aftagende i hele intervallet ]-∞;2[ og voksende i hele intervallet ]2;∞[ . Den har derfor et globalt minimum for x = 2 med minimumsværdi -4 .

Der er intet oplyst om, at funktionen er et polynomium. Men hvis man skulle foreslå et polynomium, ville det være oplagt med

f '(x) = (x+3)²·(x-2) + k ,

hvor k så kan fastlægges ved f(2) = -4 .

Funktionen

f(x) = x⁴/4 + (4/3)x³ - (3/2)x² -18x + 70/3

har derfor alle de givne egenskaber.

# 19

Jeg pointerede i # 9 , at konklusionen i  # 5 ikke nødvendigvis er gældende. Læses # 5 som en almen sandhed uden kendskab til f i den forelagte opgave, kan den vildlede. For funktionen    ln |x - 2|     vil  # 5  ikke være korrekt.