Intagration - to funktioner med samlet areal på 36

Mener du  f(x) = x² - k • x  ? ?

Find skæringen mellem graferne. Dette gøres ved at løse ligningen f(x) = g(x). Løsningerne bestemmer grænserne a og b for arealberegningerne. A = ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx

Løs først ligningen f(x) = g(x) for at finde skæringspunkterne mellem de to grafer og dermed integralets grænser. Figuren der afgrænses af de to grafer deles i to kongruente dele.

Beregn så arealet

A(M) = 2·_a∫^b (g(x) - f(x)) dx

hvor a og b er de to ikke-negative rødder for ligningen f(x) = g(x) .

Løs til sidst ligningen

A(M) = 36

som en ligning i k.

#1

Nej, der menes f(x) = x³ - kx .

 jeg tror, der menes f(x) = x² - kx

   da denne opgave er identisk med en tidligere eksamensopgave pånær x³, som der er x²

Tak for svarene

Det er vel underordnet hvilke funktioner, der er tale om, da det er udregning, som er relevant :)

Jeg forstår ikke helt, hvordan jeg får 2 grænser ud af at finde skæringspunktet?

Hvis f(x) = x² - kx og g(x) = kx, k > 0

 så kan førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem graferne findes på følgende måde:

    f(x) = g(x)

    x² - kx = kx

    x² - 2kx = 0

    x(x-2k) = 0

    x = 0 ∨ x = 2k

 Da grafen for g ligger over grafen for f i intervallet x ∈ [0, 2k], kan vi bestemme k-værdien således:

   ₀∫^2k(g(x) -f(x))dx = 36  

  ₀∫^2k(kx -(x² - kx))dx = 36

   ₀∫^2k (2kx - x²)dx =  36

   [kx² - (1/3)x³]^2k₀ = 36

   k • (2k)² - (1/3) • (2k)³ = 36

    4k³ - (8/3)k³ = 36

    (4/3)k³ = 36

    k³ = 36/(4/3)

    k³ = (36•3) / 4 = 27

    k = 27^1/3

    k = 3

#6

Løser man ligningen f(x) = g(x) får man

x³ - kx = kx , dvs.

x³ - 2kx = 0 , eller

x(x² -2k) = 0, dvs

x = 0 ∨ x = -√(2k) ∨ x = √(2k)

Da funktionen funktionerne f(x) og g(x) begge er ulige funktioner, danner de to disjunkte, kongruente punktmængder, der ligger på hver sin side af x-aksen, og som tilsammen danner punktmængden M. Man finder derfor

A(M) = 2·₀∫^√(2k) (2kx - x³) dx = 2·[kx² - x⁴/4]√(2k)0 = 2·2k·(k - 2k/4) = 2k²

Rigtig mange gange tak for hjælpen. Nu er opgaven løst :)