Hurtig opgave (vektorene)

Jeg har undersøgt i opgave a, at

x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ = 0, der viste sig, at det er lineært uafhængige idet (x₁, .., x₃) = (0, .., 0),

Man skal så vise, at a₄ ∈ span{a₁,a₂,a₃} , dvs at ligningen

λ₁a₁ + λ₂a₂ + λ₃a₃ = a₄

har netop een løsning.

#2

Det vil altså ligge i denne span, når λ₃ = -2 ikke? 

#3

Enhver linearkombination af de tre vektorer a₁, a₂, a₃ er en vektor i span{a₁,a₂,a₃} .

#3

Hvis man for nemheds skyld kalder de tre skalarer for x, y og z, skal man undersøge ligningssystemet

2x  + y  + 3z = -3
3x   - y  + 4z = -6
  x + 2y -   z  = 5
4x + 4y + 3z = 2
        3y + 5z = -7

Man ser, at ligningssystemet bestående af de tre første ligninger har den entydige løsning (x,y,z) = (1,1,-2) , der også opfylder de to sidste ligninger.

#4 + 5

Meget god forklaring i #5. Er det muligt at lave opgave b uden hjælp af Maple? Hvis det tager tid, kan du, kan du prøve hjælpe mig med opgave c istedet? Jeg forstår det som, at finde en vektor, der ikke hører til span{a₁,a₂,a₃}

Altså

λ₁a₁ + λ₂a₂ + λ₃a₃ ≠ v ?

#6

I b) skal man udvide sættet (a₁,a₂,a₃) til en basis for R⁵ , så man skal finde to lineært uafhængige vektorer b₁ og b₂, der ikke er i span{a₁,a₂,a₃} .

Se nu på ligingssystemet

2x  + y  + 3z = a
3x   - y  + 4z = b
  x + 2y -   z  = c
4x + 4y + 3z = d
        3y + 5z = e

De tre første ligninger har løsningsmatricen

| -7     7     7 |
|  7    -5    -5 | / 14
|  7    -3    -5 |

Vælg for eksempel (a , b , c) = (2, 0 , 0) . Dette giver (x , y , z) = (-1 , 1 , 1) . Vælg så et d ≠ 4x + 4y + 3z = 3 og et e ≠ 3y + 5z = 8  -- så får man en vektor, der ikke er i span{a₁,a₂,a₃} . Derfor er, for eksempel, vektoren

b₁ = [2 , 0 , 0 , 0 , 0]

en vektor, der ikke er i span{a₁,a₂,a₃} .

#7

Jeg er helt blank til opgave b. Men til c, determinanten for koefficientmatricen i de tre første ligninger er 14. Jeg kan ikke rigtigt se, hvorfor du har skrevet

| -7     7     7 |
|  7    -5    -5 |
|  7    -3    -5 |    ?

#8

Og netop derfor er matricen divideret med 14 i #7 så man bare kan gange løsningsmatricen med højresiden
[a , b , c]^T .

#9, ja men hvor kommer denne matrix fra?

Sidder med den samme opgave, dog andre værdier.
Er ret usikker på maple, hvilke kommandoer skal man bruge for at bestemme om de er uafhænigie og om a4 ligger span.