Side 2 - 2. ordens differentialligning

#20

Man finder den generelle løsning y = y(t) og beregner så y'(t) , så man kan indsætte t = 0 i y'(t) og derved få en relation som konstanterne c₁ og c₂ skal opfylde. Man indsætter også t = 0 i forskriften for y(t), så man i alt har to ligninger som de to konstanter skal opfylde.

Hvad mener du med den generelle løsning? Og t er jo allerede 0 i y´(t)

Er der evt ikke en lettere måde at udregne dem fuldstændige løsning på?

#23

Nej, ikke for denne type differentialligninger. Man skal finde rødderne i det karakteristiske polynomium og så opstille den generelle løsning.

#22

Den generelle løsning er løsningen med de ubestemte konstanter, for eksempel

y(t) = c₁·e^r1t + c₂·e^r2t

Man benytter så begyndelsesbetingelserne til at bestemme den løsning, der opfylder disse begyndelsesbetingelser.

Jeg forstår ikke, hvad du mener med at t allerede er 0 i y(t).

Jamen jeg har

y´´+5y´+6y=0

og y(0)=2 samt y´(0)=4
jeg forstår ikke hvad du mener med at jeg skal differentiere den generelle løsning??

#26

Når man har fundet den generelle løsning

y(t) = c₁·e^r1t + c₂·e^r2t

skal man så finde den specifikke løsning, der opfylder de to begyndelsesbetingelser. Man skal så i dette tilfælde indsætte t = 0 i forskrifterne for y(t) og y'(t) . Derfor skal man jo først finde forskriften for y'(t) for den generelle løsning, før man kan sætte t = 0 i den.

jamen jeg kan ikke se hvordan jeg skal finde den generelle løsning da jeg nu har y(0) og y´(0), hvor jeg tidligere kun havde y(0) og y(1)

#28

Den generelle løsning finder man ved at løse differentialligningen. Man benytter begyndelsesbetingelserne til at fastlægge de to vilkårlige konstanter c₁ og c₂ i den generelle løsning, så man finder lige netop den funktion, der både er løsning til differentialligningen og som også opfylder begyndelsesbetingelserne.

Jeg forstår ikke hvad du mener, kan du evt sende et link til en hjemmeside hvor der står noget om det og hvor de giver et eksempel?

#30

Det burde da være gennemgået i din bog. Differentialligningen af 2. orden, som dem du betragter her, har uendeligt mange løsninger, og den generelle løsning indholder to vilkårlige konstanter c₁ og c₂; når disse konstanter gennemløber alle de reelle tal, gennemløber den generelle løsning alle de mulige funktioner, der kan være en løsning til differentialligningen. Man kan så finde lige netop den funktion, der er løsning til differentialligningen og som også opfylder begyndelsesbetingelserne, ved at indsætte begyndelsesbetingelserne i den generelle løsning og løse de ligninger i konstanterne, der fremkommer derved.

Kan kun finde for y´´+Ay=0

#32

Benyt den samme fremgangsmåde, som du fik gennemgået i starten af denne tråd, på den nye differentialligning

y'' + 5y' + 6y = 0 .

Start med at finde rødderne i ligningens karakteristiske polynomium og opstil så den generelle ligning.

Gør jeg det på samme måde som den første?

#34

Ja, det fremgår jo af svaret i #33.

#33 --> ... og opstil så den generelle løsning.

Okay, det har jeg nu gjort og er kommet til at differentiere den generelle løsning, men kan ikke se hvad den bliver til når jeg har differentieret den??

#36

Den generelle løsning indeholder to led med eksponentialfunktioner. Differentier den og opstil så ligningerne for begyndelsesbetingelserne.

Så f´(x)=(r₁*x)*c₁*e+(r₂*x)*c₂*e
eller hvad

#38

Nej. Man skal jo differentiere den generelle løsning

y(t) = c₁·e^r₁t + c₂·e^r₂t ,

der er en sum af to eksponentialfunktioner, og hvor r₁ og r₂ er de to rødder i det karakteristiske polynomium.

Kan det passe at c1 er 2 og c2 er 0?