Rumfang af omdrejningslegeme

Rumfangsformlen ser nu altså sådan ud, når der drejes om x-aksen:

Er legemet begrænset af to forskellige kurveflader, skal der subtraheres på passende vis.

Ja, det ved jeg, men det kan jeg ikke rigtigt kommer videre med alligevel!!!

Beregn først

og dernæst 

og træk de to resultater fra hinanden. Der kan evt. reduceres til kun at integrere én reduceret funktion, idet grænserne og π er ens for de to integraler.

Måske vi er enige?

Volumen, V , af omdrejningslegemet =

311 < V < 312

Det kan jeg slet ikke forstå, men jeg kan eventuelt finde et svar et andet sted.

Det forventes, at man kan kvadrere en tre-leddet størrelse; benytte differencen mellem to bestemte integraler med samme grænser og samme foranstående konstant. Derudover sætte yderligere en fælles faktor uden for det endelige integraltegn.

da
                        g(x)≥f(x)  for x∈[1;4]

gælder
                        V_x = π•₁∫⁴ g²(x)dx  -  π•₁∫⁴ f²(x)dx

                        V_x = π•₁∫⁴ (x⁴-12x³+38x²-12x+1)dx  -  π•₁∫⁴ (x⁴-8x³+30x²-56x+49))dx

                        V_x = -4π•₁∫⁴ (x³-2x²-11x+12)dx

                        V_x = 4π•₄∫¹ (x³-2x²-11x+12)dx

                        V_x = 4π•[(1/4)x⁴ - (2/3)x³ - (11/2)x² + 12x]₄¹

                        V_x = 4π•((1/4)•¹⁴ - (2/3)•1³ - (11/2)•1² + 12•1  -  ((1/4)•4⁴ - (2/3)•4³ - (11/2)•4² + 12•4))

                        V_x = 4π•((73/12)  -  (-56/3)) = 4π•((73/12)  +  (224/12))

                        V_x = 4π•(297/12)

                        V_x = 99π

# 6  Vi har

og

Prøv nu selv at regne det igennem frem for at flygte fra tråden. Vi, # 7 og # 8,  gør os faktisk ulejlighed med at hjælpe både dig og andre.

Der er forskellige småkneb, der kan benyttes undervejs for at lette beregningen af V_x . Således har man

V_x / π = ₁∫⁴ g(x)² dx - ₁∫⁴ f(x)² dx

           = ₁∫⁴ (g(x)² - f(x)²) dx

           = ₁∫⁴ (g(x) + f(x))·(g(x) - f(x)) dx

           = ₁∫⁴ (2x + 6)·(-2x² +10x -8) dx

           = -4 · ₁∫⁴ (x+3)·(x-1)·(x-4) dx

           = -4 · ₀∫³ (u+4)·u·(u-3) du

           = -4 · ₀∫³ (u³ + u² -12u) du

           = -4 · [u⁴/4 + u³/3 -6u²]³₀

           = 24·3² -4·3² -3⁴

           = 3²·(24 -4 -9)

           = 9·11

           = 99

Det ændrer på ingen måde de ovenstående resultater.

Men for eksempel svar 7, så ser det for mig ud til at der optræder nogle helt andre konstanter i de forskellige led, bl.a. i Vx = π•1∫4 (x4-12x3+38x2-12x+1)dx  -  π•1∫4 (x4-8x3+30x2-56x+49))dx, nogen tal som jeg slet ikke har med i min opgave?

     (1/4)•¹⁴   --->   (1/4)•1⁴

Ok, nu tror jeg nok at jeg kan se ideen. Tak for hjælpen!