Kan i finde ud af at finde monotoniforhold i en funktion?

Brug differentialregning

Sæt f'(x) = 0. I de fundne punkter har f(x) vandret tangent. Der bliver 2 rødder, x1 < x2. Bestem fortegnsvariationen af f'(x) i intervallerne -∞ < x < x1, x1 < x < x2 og x2 < x < ∞ . Hvis f'(x) < 0 i et interval er f(x) aftagende, og hvis f'(x) > 0 i et interval er f(x) voksende i intervallet.

Først differentierer du funktionen

     f'(x) = -3x² - 6x + 9

Herefter sætter du ovenstående lig nul, da tangenthældningen (som f' jo angiver) er 0 i ekstremumspunkterne og løser for x (du finder altså x-koordinaten til ekstremumspunkerne for funktionen f vha. f')

     -3x² - 6x + 9 = 0

     d = b² - 4ac = (-6)² - 4 · (-3) · 9 = 36 + 108 = 144

     x = (-b ± √d) / 2a = (-(-6) ± √144) / (2 · (-3)) = (6 ± 12) / -6:     x = 1 eller x = -3

Nu kan du lave det der hedder en fortegnsundersøgelse, hvor du kigger på om f' er positiv eller negativ hhv. før og efter nulpunkterne. Hvis f' er negativ så er f aftagende (da tangenthældningen er negativ) og hvis f' er positiv så er f voksende.

f'(-5) = -36: f(x) er aftagende

f'(-3) = 0: f(x) har lokalt minimum

f'(-2) = 9: f(x) er voksende

f'(1) = 0: f(x) har lokalt maksimum

f(2) = -15: f(x) er aftagende

Du kan udfra denne fortegnsundersøgelse afgøre monotoniforholdene for funktionen f(x):

     f(x) er monotont aftagende i intervallet {-∞ > x ≥ -3}

     f(x) er monotont voksende i intervallet {3 ≤ x ≤ 1}

     f(x) er monotont aftagende i intervallet {1 ≤ x < ∞}