bevis for formel vha rumfang?

Prøv at kigge heri (side 4+5):   [ LINK ]

              V = π• ₀∫^h(((R-r)/h)x +r)²dx

jamen det er rumfanget i giver mig.

Min opgave lyder: vis at arealet kan findes på formlen π*(a+b)*c

hvordan viser jeg det helt præcist?

Hvis man allerede har formlen for rumfanget af en kegle til sin rådighed, kan man finde rumfanget af en keglestub som forskellen mellem rumfangene af de to kegler (R,H) og (r,h), hvor der gælder h/H = r/R .

Der gælder da

H = h·R/r

og dermed

H-h = h·(R/r -1) = h·(R-r)/r .

V_stub = VR,H) - V(r,h) = (π/3)·R²·H - (π/3)·r²·h

                                        = (π/3)·R²·(H-h) + (π/3)·R²·h - (π/3)·r²·h

                                        = (π/3)·(H-h)·(R² + (R²-r²)·r/(R-r))

                                        = (π/3)·(H-h)·(R² +(R+r)·r)

                                        = (π/3)·(H-h)·(R² + Rr + r²)

Men jeg skal IKKE  finde rumfanget jeg skal vise hvordan man kommer frem til arealformlen  π*(a+b)*c ???

forestildig at du klipper keglestubben op langs en sidelinje og breder den ud

hvorefter du indeler den øverste bue 2•π•r og nederste bue 2•π•R i et uendeligt antal små stykker,
som tilnærmet er små trapezer
hver med arealet
                                    (1/2)•s•(Δa + Δb)                    s² = h² + (R-r)²

                 hvoraf
                                                                         ∝
                                     Areal_krumflade = (1/2)•s•∑(Δa_i + Δb_i)  = (1/2)•s•(2•π•r + 2•π•R) = s•π•(r+R)
                                                                        ⁱ⁼¹

#3

Den krumme overflade udfoldes som et trapez med de to parallelle sider 2πr og 2πR . Afstanden s mellem de to parallelle sider findes af pythagoras:

(R-r)² + h² = s² ,

hvor h er keglestubbens højde. Afrealet af den krumme overflade er da

A_krum = (1/2)·(2πr + 2πR)·s = π·(R+r)·s

Mere præcist kan man beregne det som forskellen mellem to cirkeludsnits arealer.

ok jeg ved ikke om svar 6 og svar 7 beskriver samme metode men jeg har brugt den som beskrives i svar 6.

Men kan man virkelig ikke benytte integralregning til at bestemme arealet istedet ? jeg tror det var det der var lagt op til at jeg skulle bruge

Alternativt, hvis man kan benytte udtrykket for arealet af dem krumme overflade af en kegle

A_krum = π·r·√(r² + h²) ,

finder man arealet af keglestubbens krumme overflade som forskellen mellem to keglers krumme overfladearealer:

A_krum,stub = π·R·√(R² + H²) - π·r·√(r² + h²),

hvor

H = h·R/r

og dermed

H-h = h·(R/r -1) = h·(R-r)/r = H·(R-r)/R .

Vi har så

H = (H-h)·R/(R-r)  ,  og   h = (H-h)·r/(R-r) , hvorfor

A_krum,stub = π·R²·√(1 + ((H-h)/(R-r))²) - π·r²·√(1 + ((H-h)/(R-r))²)

                  = π·(R+r)·√((R-r)² + (H-h)²)

Her er (H-h) højden af keglestubben.

se [ LINK ]

især kurvelængde på side 2+3 og overfladeareal af et omdrejningslegeme side 5+6

Hvis du har funktionen f(x) = ax + b så vil overfladearealet
af det omdrejningslegeme, der fremkommer, hvis du drejer
f(x) om x-aksen i et givent interval [a;b] kunne bestemmes som: