Koordinatskift i den projektive plan

Start med at se på, hvad der menes med et koordinatskift.

Ehmm, ja ... den er jeg med på! Jeg skal finde en isomorfi π:P→P så π(x)=x', π(y)=y' og π(z)=z' ... men er ikke helt med på, hvordan jeg skal bestemme π ?!

#0

Du taler om punkterne a, b, c og a', b', og c' . Hvad er x, y, z og x', y', z' ?

Prøv at definere hele opgaven.

#3 Beklager, Andersen11! Jeg er så vant til at bruge x,y,z at jeg skrev forkert - jeg beklager! Jeg prøver igen:

Opgaven lyder:

Lad P betegne den projektive plan. Antag punkterne a,b,c∈P ikke ligger på linie og at punkterne a',b',c'∈P heller ikke ligger på linie. Vis, at der findes et projektivt koordinatskift π så π(a)=a', π(b)=b' og π(c)=c'.

#4

Et projektivt koordinatskifte er vel en affin tranformation?

#5 Det er en isomorfi P→P

#6

Jo, men det er vel mere end blot en isomorfi? Et koordinatskift er vel en lineær afbildning, og derfor er afbildningen fastlagt, når man ved, hvorledes et punkt A afbildes, og hvorledes to lineært uafhængige vektorer AB og AC afbildes.

#7 mere end en isomorfi? Undskyld, men det du skriver i #7 er noget pladder! En isomorfi mellem to vektorrum er en bijektion der bevarer linairitet!

#0 med P mener du vel mængden af linier gennem 0 i C^3.. Opgaven er utrolig nem. Lad a,b,c∈C³ repræsentere a,b,c og lad a',b',c'∈C³ repræsentere a',b',c'. Under forudsætningerne har, du så at vektorsættet (a,b,c) er lineært uafhængigt, og der findes derfor en lineær afbildning λ:C³→C³ så λ(a)=a' ,λ(b)=b' og λ(c)=c' ............. afslut selv beviset!

#8

Pladder er det da ikke.

P er den projektive plan , og (a,b,c) og (a',b',c')er punkter i den projektive plan. Derfor drejer det sig om at bestemme den affine afbildning, der afbilder a i a', og afbilder vektoren ab i vektoren a'b' og vektoren ac i vektoren a'c' , hvilket er entydigt bestemt, når vektorerne ab og ac er lineært uafhængige, og a'b' og a'c' er lineært uafhængige.

#9 min kommentar til dit "pladder" var til din def af isomorfi ... ikke din matematik!

Omkring den projektive plan tror jeg desværre du blander den affine plan ind? Uden at fornærme dig bør du måske læse op på algebraisk geometri?

No matter what .... så tror jeg #0 har fået svar?!