Koordinatsættet til Skæringpunkterne mellem cirkel og linie?

Du mener sikkert, som antydet i overskriften, at du skal bestemme koordinaterne til skæringspunktet mellem cirklen og linien.

Ja, dit resultat er helt hen i vejret, da de to punkter ikke ligger på cirklen. Du må kunne se, at disse punkter ligger mindst 40 - 50 enheder fra (0;0) , mens cirklen har centrum i (4;2) og har radius √5, og intet punkt i cirklen ligger længere end √(4² + 2² +5) = 5 fra (0;0).

Beskriv din fremgangsmåde her.

Cirklen er givet ved

     (x - 4)² + (y - 2)² = 5

     x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4 = 5

     x² + y² - 8x - 4y + 15 = 0

Linjen er givet ved

     y = x - 1

Du indsætter nu linjens værdi for y i cirklens udtryk

     x² + (x - 1)² - 8x - 4 · (x - 1) + 15 = 0

     x² + x² - 2x + 1 - 8x - 4x + 4 + 15 = 0

     2x² - 14x + 20 = 0

Ovenstående løses som en andengradsligning og derfor findes diskriminanten nu

     d = b² - 4ac = (-14)² - 4 · 2 · 20 = 196 - 160 = 36

Diskriminanten er positiv og der findes derfor to løsninger (skæringspunkter ml. linjen og cirklen). Disse findes med formlen

     x = (-b ± √d) / 2a = (-(-14) ± √36) / (2 · 2) = (14 ± 6) / 4   =>   x₁ = 2  eller  x₂ = 5

Skæringspunkternes y-værdier findes ved at indsætte ovenstående x-værdier i forskriften for enten linjen eller cirklen

     y₁ = x₁ - 1 = 2 - 1 = 1

     y₂ = x₂ - 1 = 5 - 1 = 4

Således er skæringspunkterne

     P(2 , 1)  og  Q(5 , 4)

:)

                (x-4)²+(x-1-2)²=5

                (x-4)²+(x-3)²=5

                x² - 8x + 16 + x² - 6x + 9 = 5

                2x² - 14x + 25 = 5

                2x² - 14x + 20 = 0

                x² - 7x + 10 = 0

                    x = 2   v   x = 5

   skæringspunkter
                                      (2,2-1)   og   (5,5-1)

                                      (2,1)   og   (5,4)

Hvis det skal være punkter på cirklen er det helt hen i vejret. (x-4)² >> 5, tilsvarende gælder for y.

Du kan løse opgaven ved at erstatte y i cirklens ligning med x-1 og løse den derved frmkomne ligning

Nu skal du se:

(x-4)^2+(x-3)^2=5

'x^2+16-8x+x^2+9-6x=5

'2x^2-14x+25=5

'2x^2-14x+20=0

Herefter vil jeg finde diskriminanten:

d=-14^2-4*2*20=36

x=-(-14)^2+-√36 / 2*2

x1=-47.5 x2=-50.5

 

Jeg kan se at det er ved Diskriminanten den har fejlet!

#6

Du indsætter ikke korrekt i rodformlen.

x  = (-b ± √d) / (2a) .

Så er

x = (-(-14) ± √36) / (2·2) = (14 ± 6) / 4 = {5 eller 2}

Du har kvadreret (-b) i rodformlen.

ved ikke hvorfor jeg troede at det skulle være -(b)^2 og ikke bare -(b) når jeg skulle finde nulpunkterne ..

Tak for hjælpen!!