Matematik

Hvordan integrerer jeg denne funktion?

29. april 2013 af mmmille (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej. Jeg skal i en opgave uden hjælpemidler integrere denne funktion:

2x / x^2 + 3

Er der nogle der forklare det helt punktligt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. april 2013 af mathon

substituer
u = x² + 3
og dermed
2xdx = du

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. april 2013 af PeterValberg

jeg antager at du mener:

$\int{\left(\frac{2x}{x^2+3}\right )dx}$

det klarer du vha. substitution :-)

substituér således at:

t = x² + 3 dermed er dx = 1/(2x) dt

integralet bliver således:

$\int{\left(\frac{1}{t}\right )dt}=\ln|t|+k=\ln(x^2+3)+k$

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. april 2013 af mathon

skrevet lidt enklere

∫ 2x/(x²+3)dx = ∫ 1/(x²+3)•2xdx = ∫ 1/u du = ln|u| + k = ln|x²+3| + k

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. april 2013 af Stats

Substitutions metoden.

$\int f(g(x))\cdot g'(x)=F(g(x))$

Vi skal i dit eksempel integrere

$\int \left ( \frac{2x}{x^2+3} \right )\mathrm{d}x$

Vi vil her følge tre punkter:

$\int f(g(x))\cdot g'(x)\mathrm{d}x=\int f(t)\cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}\mathrm{d}x=\int f(t)\mathrm{d}t=F(t)$

Vi ser at vi her har tilladt os at antage at substituere g(x) til parameteren t, samt at vi også har tilladt os at betragte dy/dx som en brøk..

Det først skridt er, at finde ud af hvilke der skal tildeles f(x) (Den ydre funktion) og g(x) (Den indre funktion)..

$\\ f(x)=\frac{2x}{x}\\ \\ g(x)=x^2+3$

Og vi differentiere g(x)

$\\ g'(x)=2x$

Det næste skridt er, at substituere vi g(x) til t. Og i samme skridt skal vi se hvordan vi betragter dy/dx som en brøk..

$\\ \int \frac{2x}{t}\cdot\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}\mathrm{d}x$

Vi kigger nu på (dt/dx)dx

$\\ \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=2x\\$

Vi vil nu gerne isolere dx

$\\ \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=2x \Leftrightarrow \\ \\ \frac{1}{2x}\mathrm{d}t=\mathrm{d}x$

Vi ser nu at vi er nået til 3 skrift nemlig

$\\ \int \frac{2x}{t}\cdot\frac{1}{2x}\mathrm{d}t$

Lad os lige gøre udtrykket mere simpelt

$\\ \int \frac{2x}{t}\cdot\frac{1}{2x}\mathrm{d}t \Leftrightarrow \\ \\ \int \frac{1}{t}\cdot 2x\cdot\frac{1}{2x}\mathrm{d}t \Leftrightarrow \\ \\ \int \frac{1}{t}\cdot\frac{2x}{2x}\mathrm{d}t \Leftrightarrow \\ \\ \int \frac{1}{t}\cdot 1\mathrm{d}t \Leftrightarrow \\ \\ \int \frac{1}{t}\mathrm{d}t$

Nu går vi videre til tredje og sidste skridt, find stamfunktionen..

∫1/tdt=ln(|t|)+k

og derfor kan vi skrive:

$\\ \int \frac{1}{t}\mathrm{d}t=\ln|t|+k=\ln|x^2+3|+k$

Håber det var en let forståelig forklaring

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #5
29. april 2013 af mmmille (Slettet)

Okay. Tusind tak for hjælpen! :-)

Skriv et svar til: Hvordan integrerer jeg denne funktion?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.