2 tvivls spørgsmål:

Opgave 1)
Jo, det er helt korrekt.
Alle ligner på formen
t(x + 2z -40) = 0
vil være en løsning.
Det er dog den samme mængde af punkter (x,y,z), der løser alle disse ligninger.

Opgave 2)
Du laver en lille fejl, anden gang du løser opgaven.
Det er helt rigtigt, at du skal finde der, hvor linierne
(1.1) (x,y,z) = B + t*BD og
(1.2) (x,y,z) = O + s*OF
skærer hinanden. Eller finde der hvor
(2.1) (x,y,z) = B + t*BD og
(2.2) (x,y,z) = O + s*OF
skærer, da (1.1) og (2.1) i virkeligheden er den samme linie.

MEN t behøves jo ikke være lig s.
Det er blot et tilfælde, at t = s = 3/5
virker i det første tilfælde.
Jeg ved selvfølgelig ikke hvordan du finder der, hvor de skærer, men
det er dog ikke noget problem, for du har stadig 3 ligninger, med 2 ubekendte t og s, så det kan stadig løses.
Når du gør det, burde du få samme resultat i andet tilfælde som i første tilfælde.

Hov:
ligner -> ligninger i 3. linie.
Jeg glemte vist at skifte B ud med D i (2.1)
..og så er det måske ikke fantastisk formuleret.

Håber du forstår hvad jeg mener alligevel. Ellers må du jo spørge.

Christina,

ad 1)
Der er rigtignok flere muligheder for at besvare opgaven. Til bestemmelse af en ligning for den plan, som indeholder trapezet ABFE, kan man vilkårligt vælge tre af de fire omtalte punkter. Som kontrol bør man naturligvis eftervise, at det fjerde punkt ligeledes ligger i planen; de tre andre punkter vil per konstruktion være indeholdt i planen.

Ligningen for planen alfa kan ved multiplikation med 1/100 skrives

alfa: x + 2z - 40 = 0,

om end det nok mestendels må siges at være af rent æstetiske hensyn, hvis man forsimpler ligningen.

ad 2)
Fejlen skyldes sikkert, at du anvender samme symbol for den frie parameter i de to parameterfremstillinger. Der skal anvendes _forskellige_ symboler for de frie parametre; for eksempel s og t henholdsvis. Vi har derfor

(x,y,z) = OB + sBD = (6,6,0) + s(-5,-5,5), s E [0;1]
(x,y,z) = tOF = t(5,5,5), t E [0;1]

og ledes derfor til at løse ligningssystemet

6-5s = 5t
6-5s = 5t
5s = 5t

i parametrene s og t. Prøv igen nu.

//Epsilon

I øvrigt skal jeg fremhæve, at skæringspunktet (3,3,3) er det korrekte.

//Epsilon

x,y,z) = D + t * BD
(x,y,z) = (1,1,5) + t * (1-6 , 1-6 , 5-0)
(x,y,z) = (1,1,5) + t * (-5 , -5 , 5)

(x,y,z) = O + t * OF
(x,y,z) = (0,0,0) + s * (5-0, 5-0, 5-0)
(x,y,z) = (0,0,0) + s * (5 , 5 , 5)


så får jeg skæringen til at være

(-2,-2,8) igen. Jeg er nu klar over at det skal være (3,3,3) men det for jeg ikke på den her måde

nye opgaver:
opgave 1)

en funktion f er bestemt ved:

f(x)=x^3 – 3x^2

Med M_ t betegnes den punktmængde der begrænses af koordinatsystemets førsteakse grafen for f samt linie med ligningen x=1 og linie med ligningen x = t hvor t E ]1; 3 [arealet af M_ t er en funktion af t der betegnes med A(t)

Bestem A(t):

løsning:

A(t) = S fra 1 til t f(x) *dx = ¼ * t^4 –t^3 + ¾

eller skal man sætte - S fra 1 til t f(x) *dx = -¼ * t^4 + t^3 - ¾

Hvis man skal hvordan kan man så se det?


opgave 2)
bare for at være sikker på det i sagde til mig:

Bestem en parameterfremstilling for linien gennem punkterne Q og T.

Q(8 , 12 ,0 )
T(4 ,12 ,32)

QT= ( 4- 8 , 12-12 , 32-0)
QT= (-4 , 0 , 32)

dvs. at parameterfremstillingen bliver

(x,y,z) = (8 , 12 ,0 ) + t* (-4 , 0 , 32) , tER

men det er ligeså rigtigt at skrive:
(x,y,z) = (4 ,12 ,32)+ t* (-4 , 0 , 32) , tER

eller

TQ= ( 8 – 4 , 12-12 , 0-32)
TQ= (4 , 0 , -32)

(x,y,z) = (8 , 12 ,0 ) + t* (4 , 0 , -32) , tER

eller
(x,y,z) = (4 ,12 ,32)+ t* (4 , 0 , -32) , tER

det burde være rigtigt alle disse fire løsninger.

når man så skal finde arealet af trekanten OQT skal man så ikke bare bruge følgende formel:

A= ½ * l OT x OQ l

og hvis man skal finde arealet for en kvadrat, firkant eller parallelogram så skal man bruge

A= l a x b l

ikke

#5:
Jeg har ingen anelse om, hvordan du får (-2,-2,8); forkert er det i al fald. Punktet ligger tydeligvis kun på den ene linje.

Ud fra parametriseringerne

(x,y,z) = (1-5t,1-5t,5+5t)
(x,y,z) = (5s,5s,5s)

løses ligningssystemet

1-5t = 5s
1-5t = 5s
5+5t = 5s

Kontrollér selv, at det giver løsningsparret

(s,t) = (3/5,-2/5)

Lad os med S betegne skæringspunktet. Substitueres de fundne parameterværdier tilbage i de respektive parameterfremstillinger, har man

S = (1-5*(-2/5),1-5*(-2/5),5+5*(-2/5)) = (3,3,3)
S = (5*3/5,5*3/5,5*3/5) = (3,3,3)

nøjagtig som før. Det har ingen betydning for S, hvilken af parametriseringerne

(1) (x,y,z) = (1,1,5) + t(-5,-5,5)
(2) (x,y,z) = (6,6,0) + t(-5,-5,5)

man anvender for den første linje; men det betyder naturligvis, at man får forskellige t-værdier svarende til S. Bruges (1), fås t = -2/5, hvilket vi så ovenfor, mens t = 3/5, såfremt man regner ud fra (2). I begge tilfælde er s = 3/5, naturligvis, idet vi opererer med én og samme parametrisering af den anden linje:

(x,y,z) = (0,0,0) + s(5,5,5)

//Epsilon

#5:

ad 1)
Det negative fortegn skal med; det hviler på, at arealfunktionen, som I må formodes at have kendskab til fra integralregning i matematikundervisningen, er en voksende stamfunktion til en ikke-negativ, kontinuert funktion. Arealfunktionen måler netop arealet mellem førsteaksen og grafen for den kontinuerte funktion inden for et nærmere specificeret interval.

I opgaven betragtes den kontinuerte funktion

f(x) = x^3 - 3x^2

i det åbne interval ]1;3[, og det ses, at f(x)

g(x) = -f(x), x E ]1;3[

da er g den kontinuerte, ikke-negative funktion, hvis værdi i ethvert x er værdien af f med modsat fortegn. Så er det klart, at funktionen

A(t) =

t
S[g(x)dx], t E ]1;3[
1

er veldefineret og præcis måler arealet af den i opgaven beskrevne punktmængde:

M_t = {(x,y)| 1

ad 2)
Alle fire forslag er lige korrekte. Til en parameterfremstilling for en rumlinje kræves et punkt på linjen (her: Q eller T) samt en retningsvektor (her: QT eller TQ = -QT).

For så vidt angår 'rumtrekanten' OQT, jo. Arealformlen

A = |a x b| = |a||b|sin(v)

(v: vinklen mellem a og b), giver arealet af det af rumvektorerne a og b udspændte parallelogram. Et kvadrat er blot et specialtilfælde af et parallelogram.

Er der derimod tale om en firkant, som ikke er et parallelogram (fx et trapez i rummet), kan arealet eksempelvis bestemmes via simpel triangulering; firkanten inddeles i to trekanter. Arealet af hver af disse beregnes og adderes efterfølgende.

//Epsilon