Redegørelse for differentiation af potens-, eksponentiel- og logaritmefunktioner.

potensfunktion:
                                             f(x) = b • x^a         x>0

                                             f '(x) = b • a • x^a-1=  ab•x^a-1

eksponentialfunktion:
                                             f(x) = b • a^x         a>0

                                             f '(x) = b • a^x • ln(a) = ln(a) • (b • a^x) = ln(a) • f(x)

Ved hjælp af tre trins reglen.

logaritmefunktion:

                          alle logaritmefunktioner er proportionale med den naturlige logaritmefunktion ln(x),
                          som er defineret som den logaritmefunktion, hvis differentialkvotient
                          er
                                                    1
                                      ln '(x) = ---
                                                    x

                         enhver anden logaritmefunktion   f(x) = k•ln(x)   med grundtal a
                         har derfor differentialkvotienten

                                                          1
                                      log_a '(x) = --------
                                                      ln(a)•x
............
da
         log_a(x) = k•ln(x)    x>0
     
 og
         log_a(a) = 1 = k•ln(a)  

                 1
         k = ------
               ln(a)           

Ovenstående er en redegørelse - hvilket du efterspurgte - men ikke et bevis.          

se

se

Differentialkvotienten for den naturlige logaritmefunktion er bevist her

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=yUpDRpkUhf4#!

Mange tak. 

Som jeg har forstået det skal man gøre brug af kædereglen. 

Så vidt jeg huske er et andet bevis for f'(ln(x))  fra Calculus.


f(x) = ln(x) og du ved at f'(x) = 1/x

f'(x) = lim_(h->0) (ln(x+h)-ln(x))/h)

du anvender at ln(a)-ln(b) = ln(a/b)

derfor er

f'(x) = lim_(h->0) (ln(x+h)/ln(x))/h)

dernæste siger du

f'(X) = lim_(h->0) 1/h * (ln((x+h/x))) =  lim_(h->0) (ln(1 + h/x))^(1/h)

Hvorefter du antager

h/x = 1/n -> h = x/n hvis n-> uendelig.

Hvilket nu tillader dig at skrive

= lim_(n -> uendelig) ln(1+1/n)^(n/x) =  1/x * lim_(n -> uendelig) (ln(1+1/n)^(n))

det vides at e = lim_(n -> uendelig) (ln(1+1/n)^(n))

Derfor kan du skrive

f'(x) = 1/x * lim_(n -> uendelig) (ln((1+1/n)^(n)) = 1/x * ln(e) = 1/x

#8

Du går ud fra, at du ved, at f '(x) = 1/x ? Hvad er det så, du prøver at vise?