matematik linearisering

f(1) = 1.

Lav en tayloudvikling ud fra x= 1. Alternativt svarer det til at du erstatter funktion med tangen i (1, 1)

se evt. https://da.wikipedia.org/wiki/Taylorpolynomium

Det forstår jeg ikke,jeg har fundet linearisering for f(x) også står der jeg skal finde en tilnærmet værdi for f(1,1) . det er rigtigt at f(1) = 1. Men hvad betyder det at jeg skal finde en tilnærmet værdi? Jeg forstår ikke hvordan jeg skal finde den.

#0

Ud fra de beregnede værdier af f(1) og f '(1) benytter man tangenten til funktionens graf i (1 , f(1)) til at beregne en tilnærmet værdi for f(1,1) . Fejlen vurderes ved at benytte det til Taylorpolynomiet hørende restled.

#2

Tangenten til funktionens graf benyttes til at approksimere funktionen i omegnen af det betragtede punkt. 

Men tangenten til min graf er lineariseringen. Skal jeg så sætte 1 på x plads i tangent ligningen/ lineariseringen for at finde en tilnærmet værdi for f(1,1)?

           f(x) = e^{-2*x^2+6*x-4}

           f '(x_o) = e^{-2*x_o^2+6*x_o-4} • (-4x_o+6)
 

tangenten i (1,1):
                    x_o=1
                               y = f '(x_o) • (x-x_o) + f(x_o)

                               y = (e^{-2*1^2+6*1-4} • (-4•1+6)) • (x-1) + e^{-2*1^2+6*1-4}

                               y = 2 • (x-1) + 1

                               y = 2x - 1

           f_{approx_1}(x) = 2x - 1

#4  nej Du skal indsætte 1,1 på x's plads

#5 hvorfor bliver y=2*(x-1)+1 => y=2*x-1, jeg har fået følgende svar til linearisering: y=2*(x-1)+1. Men jeg forstår ikke hvad jeg skal finde, når der menes tilnærmet værdi. er det således: y=2*(2-1)+1 = 3 eller y=2*(1-1)+1=1 ? er dette rigtigt?

Jeg skal lige være sikker jeg har forstået det rigtigt for at finde den tilnærmede værdi for f(1,1) er det:  y=2*(1,1-1)+1=6/5 ved hjælp af lineariseringen. 

                        f(x) = e^-2*x2+6*x-4

erstattes af
                        L(x) = 2x - 1

 
                        L(1,1) = 2•1,1 - 1= 1,2

#9 ok den tilnærmede værdi bliver så for f(1,1) : L(x) = 2*1,1-1=6/5 kan det passe? Hvad menes der med giv en vudering af den fejl der begås ved at benytte den fundne tilnærmede værdi, skal jeg estimere fejlen?

                             L(1,1) = 2•1,1 - 1= 1,20000

                             f(1,1) = e^{-2*1,1^2+6*1,1-4} = 1,19722

afvigelse
                             Δy = (1,20000 - 1,19722) = 0,00278

relativ afvigelse
i pct.
                            (Δy/y) • 100% = (0,00278 / 1,19722) • 100% = 0,23%
                            

#11 men hvad angiver deltay/y 0,23% er det den fejl som begås ved at benytte den tilnærmede værdi?

Jeg skal også give en vudering af fejlen for den værdi, jeg finder ved hjælp af taylors sætning. Hvad menes der med det? Er det bare hvor jeg skal beregne afvigelsen? Så  vudering af fejlen ved taylor og linearisering skal man så beregne afvigelsen ligesom i #11?

Hvis du skal finde fejlen ved brug af restleddet i Taylorrækken, må det stå i din bog. Du kan også se fejlleddet på http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/raekker.html#taylor

#14 men der står ikke jeg skal finde fejlen, der står jeg skal give en vudering af fejlen, betyder det at jeg skal finde fejlen?

Det betyder at du skal finde en øvre grænse for fejlen. I restleddet indgår en parameter i henvisningen i #14 kaldet c og som skal ligge mellem x og x₀. Du skal ud fra det finde en øvre grænse for fejlen

#3 Fejlen vurderes ved at benytte det til Taylorpolynomiet hørende restled. Hvad mener du med det?

Men i henvisningen #14 skal jeg beregne Rn, men jeg kender ikke c, eller n, er mit x0= 1 og x=1,1 ? Jeg kender kun fuktionen f(x).

Du skal beregne en øverste grænse for restleddet. Dette kan du gøre du ved at vælge c så resultatet bliver størst muligt. n = 1 dit x og x₀ er rigtig

ok mange tak, så begynder jeg at forstå det lidt bedre. Men hvordan ved jeg hvad c skal være for at få resultatet størst muligt? er min c ikke 1,1?