Cirkel formel

Det kan man.

#0

Cirkel gennem tre punkter

Bestem ligning for cirkel gennem punkterne
A(0,6)  ,  B(1,-1)  og  C(8,0)

Den generelle cirkelligning ser sådan ud
    `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`
Cirklen går gennem de givne punkter, når punkternes koordinatsæt passer i cirklens ligning.
Ved indsættelse fås tre ligninger
(1)    `(0-a)^2+(6-b)^2=r^2`
(2)    `(1-a)^2+(-1-b)^2=r^2`
(3)    `(8-a)^2+(0-b)^2=r^2`
med ubekendte: a, b og r.
Vi ganger parenteser ud og får
(4)    `a^2+b^2-12b+36=r^2`
(5)    `a^2-2a+1+b^2+2b+1=r^2`
(6)    `a^2-16a+64+b^2=r^2`

Vi vil først slippe af med ubekendte.
Ved at trække ligning 4 fra ligning 5 og ligning 5 fra ligning 6 forsvinder r2
(7)=(5)-(4):    `-2a+14b=34`
(8)=(6)-(5):    `-14a-2b=-62`

Ved at gange ligning 8 med 7 og lægge det til ligning 7 forsvinder b:
(9)=7*(8):    `-98a-14b=-434`
(10)=(7)+(9):    `-100a=-400`   så   `a=4`

Nu kan vi indsætte i ligning (8) og vi får
    `-14*4-2b=-62`
    `6=2b`   så   `b=3`

Endelig kan vi indsætte fundne værdier i ligning 1 og vi får
    `(0-4)^2+(6-3)^2=r^2`
    `25=r^2`   så   `r=5`

Cirklens ligning er så   `(x-4)^2+(y-3)^2=5^2`

.. http://uvmat.dk/jr/mathpub/anageo/3p2c.htm

alternativt:

cirklens centrum er skæringspunktet mellem AB og BC's midtnormaler

AB's midtpynkt = M₁ = (1/2,5/2)         linjen hvorpå AB ligger har hældningstal -7

midtnormalen m₁ har ligningen
                                                    y -(5/2) = (1/7)•(x-(1/2))

                                     m₁:          y = (1/7)x + (17/7)

.

B'Cs midtpynkt = M₂ = (9/2,-(1/2))         linjen hvorpå BC ligger har hældningstal (1/7)

midtnormalen m₁ har ligningen
                                                    y -(-1/2) = -7•(x-(9/2))

                                     m₂:         y = -7x + 31

beregning af skæringspunkt mellem m₁ og m₂:

                                                    (1/7)x + (17/7) = -7x + 31

                                                    x + 17 = -49x + 217

                                                    x = 4   som indsat i m₂'s lignig
giver
                                                    y = -7•4 + 31 = 3

cirklens centrum er C(4,3)         

Cirklens radius findes af afstanden mellem C og A

                   r = |CA| = √((0-4)²+(6-3)²) = 5

Cirklens ligning
                               (x-4)² + (y-3)² = 5²