MATH! (en lille opg.)

Een måde at gøre det på er at reducere problemet til to dimensioner.

Kuglen ses at have centrum i planet z=2. Forestil dig nu at situationen betragtes udelukkende i dette plan, hvad vil vi så se?

Vi se altså bort fra z-koordinaterne og betragter rummet i et snit, nemlig det snit der er bestemt ved planen z=2.

Tegn venligst følgende, det vil hjælpe dig:

Kuglen reduceres ved dette snit til en cirkel med centrum C i (x,y)=(0,10), altså på y-aksen.

Ethvert plan, der i R³ indeholder z-aksen, må have en ligning på formen ax+by=0; den kan ikke afhænge af z. I vores snit vil de planer, der tangerer kugler, altså fremstå som rette linier gennem origo O(0,0).

Da planerne skal tangere kuglen må disse rette linier skulle tangere cirklen. Tegn disse to rette linien gennem O og røringspunkterne hhv. A og B med cirklen. Linierne ligger symmetrisk om y-aksen.

Du vil nu se at vektorerne n_1=CA og n_2=CB er normalvektorer til de to linier. I planen z=2 vil disse normalvektorer have koordinatsæt på formen

n_1 = (x_1,y_1) og n_2 = (x_2,y_2)

Men da de rette linier er fremkommet ved snit gennem tangentplanerne i z=2 må vektorerne

N_1 = (x_1,y_1,2) og N_2 = (x_2,y_2,2)

være normalvektorer til tangentplanerne. Heraf bestemmes ligningerne for disse planer nemt, idet vi samtidigt ved, at de begge skal indeholde punktet (0,0,0).

Røringspunkterne findes ved simpel vektorregning. I planen z=2 ved vi at

OA = OC + CA

og

OB = OC + CB

Øvelsen består således udelukkende i at bestemme vektoren CA, thi kendes CA, da kendes også CB grundet symmetrien om y-aksen [CB fremkommer af CA ved at skifte fortegn på x-koordinaten].

CA kan du bestemme ved trekantsregning, idet trekant OCA (og OCB) er retvinklet. Radiusvektor står jo netop vinkelret på tangenten i røringspunktet.

Det blev vist en smule knudret, skriv hvis det volder bøvl.

Inden du kommer for godt i gang: det er faktisk ikke nødvendigt at bestemme CA (eller CB). Det er nemlig uhyre nemt at bestemme OA (eller OB) og så haves straks røringspunkterne. Tangentplanernes ligninger bestemmes da nemmest ved at udnytte at tværkektoren til OA (respektive OB) er normalvektorer til disse.

Jeg er desværre ikke helt med på hvordan man kan løse den.

Jeg har prøvet at tegne det som du sagde i #1.

Jeg har tegnet de to akser altså x - og y – aksen.

centrum C har jeg tegnet på (0,10) og radius 5

så har jeg tegnet punktet O(0,0)

så har jeg tegnet de to tangenter som går igennem O og rører cirklen.

spørgsmålet er bare så hvordan jeg kan komme videre. skal man aflæse punktet A og B?

I den plan du har tegnet, altså planen z=2, dannes der som nævnt to identiske retviklede trekaneter symmetrisk beliggende om y-aksen.

Lad os betragte trekant OCA, altså den der dannes af origo O i planen z=2 (og som altså i rummet har koordinaterne (0,0,2)), cirklens centrum i planen z=2 (og som i rummet altså har koordinaterne (0,10,2)) og tangentens røringspunkt A (som i rummet er tangentplanets røringspunkt med koordinaterne (x,y,2)).

Vi er interesserede i at bestemme koordinaterne til vektoren OA, thi

(1) Den vil direkte give koordinaterne for røringspunktet.
(2) Dens tværvektor er normalvektor til tangentplanet.

Til det formål bestemmes først længden |OA| som følger:

Vi har idet trekanten OCA er retvinklet, at

|OC|² = |OA|² + |CA|² <=>

|OA|² = |OC|² - |CA|²

hvoraf

|OA|² = 10² - 5² = 75

thi CA er jo en radius i cirklen hvorfor |CA|=5.

Vi ønsker dernæst at bestemme en enhedsvektor, n, parallel med OA, thi så er OA = |OA|n = sqrt(75)*n = 5sqrt(3)n.

Vinklen mellem vektor OC og OA kalder vi v. Der gælder, atter med det argument at trekant OCA er retvinklet, at

sin(v) = |CA|/|OC| = 5/10 = ½

hvoraf

cos(v) = sqrt(3)/2

hvilket ses enten af "idiotformlen" cos²(v)+sin²(v)=1 eller af trekanten som

cos(v) = |OA|/|OC| = 5sqrt(3)/10 = ½sqrt(3)

Vi bemærker nu at v er vinklen mellem y-aksen og vektoren OA. For at bestemme n skal vi imidlertid bruge vinklen mellem OA og x-aksen. Men denne er jo pi/2-v. Vi har altså at

n = (cos(pi/2-v), sin(pi/2-v)) <=>

n = (sin(v), cos(v))

hvoraf

n = (½, ½sqrt(3))

thi der gælder jo at

cos(pi/2-v) = sin(v)
sin(pi/2-v) = cos(v)

Vi har nu

OA = |OA|n =>

OA = 5sqrt(3)n <=>

OA = 5sqrt(3)(½,½sqrt(3))

Da OA er beliggende i planen z=2 må koordinaterne til røringspunktet A derfor være A(5sqrt(3)/2,15/2,2).

Som kontrol kan du eftervise at A ligger på kuglen ved indsættelse i dennes ligning

x²+(y-10)²+(z-2)²=5²

Grundet symmetrien fremkommer koordinaterne til røringspunktet B ved fortegnsskift på førstekoordinaten i koordinaterne for A.

Ligningerne for tangentplanerne bestemmes udfra en normalvektor til enhver af planerne samt at de begge indeholder punktet (0,0,0). Ved bestemmelsen af normalvektorer kan bekvemt tages udgangspunkt i tværvektorer til hhv OA og OB eller enhedsvektorerne parallelle med disse.

For planet, der indeholder røringspunktet A, finder vi først tværvektoren hat{n} som

hat{n} = (-½sqrt(3),½)

Idet vektoren er parallel med xy-planen har den i 3-dimensioner koordinaterne

N = (-½sqrt(3),½,0)

Ligningen for den søgte plan, p_A, er da

p_A : -½sqrt(3)(x-0)+½(y-0)+0(z-0)=0

p_A : -sqrt(3)x+y=0

Tilsvarende bestemmes p_B - tangentplanet der indeholder røringspunktet B.

Kan man kke løse det på en lidt nemmer måde?

Hvad skal der til før du synes noget er simplere end regning på retvinklede trekanter ?

Det er svært at svarer på!
Jeg mener at det ret indviklet!

Der hvor du finder lCAl er jeg med på men resten er lidt indviklet!

Jeg kan f.eks. ikke forstå hvordan du kan se at tangenterne skal går igennem O(0,0,2)

Hele ideen i løsningsforslaget er, at vi indskrænker os til at kigge på planen z=2.

Alle punkter i denne plan har koordinater på formen (x,y,2).

Alle vektorer parallelle med denne plan har koordinater på formen (x,y,0).

Projektionen af origo O(0,0,0) på denne plan har derfor koordinaterne O'(0,0,2).

Tangentplanerne indeholder z-aksen og fremstår i planen z=2 derfor som rette linier gennem O'.

Tangentplanernes røringspunkter A og B med kuglen må nødvendigvis ligge i planen z=2. Det samme gør naturligvis kuglens centrum C.

Vi har altså tre punkter, O', C og A der ligger i samme plan. De danner ydermere en retvinklet trekant O'CA.

Vi ved at

|CA| = 5, thi CA er en radius
|OC| = 10, thi det er oplyst
vinkel A er ret, thi radius står vinkelret på tangenten.

Nu kan du bestemme |O'A|.

Du er vel med på at vektor

OA = OO' + O'A

hvor

OO' = (0,0,2)

men O'A kender vi kun længden af. Prøv nu lige at læse hvad der sker i #4 igen og sammenhold det med en god tegning. Det er ret simple trekantsbetragtninger og vektorregning.

Jeg har lavet om på nogle enkelte steder!

Så starter jeg lige forfra:

har tegnet cirklen ved (0,10) og radius 5.

O har i rummet koordinaterne (0,0,2)
C har i rummet koordinaterne (0,10,2)
A har i rummet koordinaterne (x,y,2)

Vi ved ud fra de oplysninger vi får at lCAl = 5 (radiusen i kuglen)

Bestemmelse af OA:

c: OC = 10
a: CA = 5
b: OA =?

den kan så findes på følgende måde:

c^2 = a^2 + b^2 =>
10 ^2 – 5^2 = b^2 <=>
100 – 25 = b^2<=>
75 = b^2<=>
sqrt(75) = b

vinklen imellem OC og OA eller vinkel O kan så bestemmes på følgende måde:

Sin(A) = a / c =>
sin(v) = |CA | / |OC| = ½ <=>
v = sin^-1 ( ½) <=>
v = 30 deg.

Så kan vi finde den sidste vinkel imellem OC og CA eller vinkel C på følgende måde:

180 deg – 30 deg – 90 deg = 60 deg

Vi ved at vinkel O er vinklen imellem y-aksen og vektor OA. For at bestemme n skal vi bruge vinklen mellem OA og x-aksen. Men denne er jo pi/2-O. Vi har altså at

n = (cos(pi/2-O), sin(pi/2-O))

ydermere ved vi at der gælder:
cos(pi/2-O) = sin(O)
sin(pi/2-O) = cos(O)

derfor må n være:
n = (sin(O), cos(O))

ved indsættelsen fås følgende:

n = (1/2, 0,866025)

Nu kan vi bestemme en enhedsvektor n som er parallel med OA:
OA = |OA|*n
OA = sqrt(75)*n
OA= sqrt(75) * (1/2, 0,866025)
OA = (4.33 , 8,059)

Da OA er beliggende i planen z=2 må koordinaterne til røringspunktet A derfor være A(4.33 , 8.059 , 2)

Bestemmelse af B`s koordinater:

Vi ved at trekant OCA=OCB:

derfor må der gælde at:

lBCl = 5
lOCl = 10
lOBl = sqrt(75)

vinklen imellem OC og OB eller vinkel O må så være:
O: v = 30 deg.

vinklen imellem OB og BC eller vinkel B må så være:
B: v = 90 deg.

vinklen imellem OC og CB eller vinkel C må så være:
B: v = 60 deg.

Vi ved at vinkel O er vinklen imellem y-aksen og vektor OB. For at bestemme n skal vi bruge vinklen mellem OB og x-aksen. Men denne er jo pi/2-O. Vi har altså at

n = (- cos(pi/2-O), - sin(pi/2-O))

ydermere ved vi at der gælder:
- cos(pi/2-O) = - sin(O)
- sin(pi/2-O) = - cos(O)

derfor må n være:
n = (- sin(O), - cos(O))

ved indsættelsen fås følgende:

n = (- 1/2 , - 0.866025)

Nu kan vi bestemme en enhedsvektor n som er parallel med OB:
OB = |OB|*n
OB = sqrt(75)*n
OB= sqrt(75) * (- 1/2, -0,866025)
OB = (- 4.33 , -8,059)

Da OA er beliggende i planen z=2 må koordinaterne til røringspunktet A derfor være A(- 4.33 , - 8.059 , 2)

Passer det nu!

Håber at det er rigtigt nu!

Du må virkelig undskyld at jeg piner dig med denne her opgave men jeg kunne ikke finde ud af den så jeg håber ikke at jeg var alt for besværlig.

MVH
Christina Nilsen

Rettelse til den sidste del:
Da OA er beliggende i planen z=2 må koordinaterne til røringspunktet A derfor være A(- 4.33 , - 8.059 , 2)

der skal i stedet for stå
Da OB er beliggende i planen z=2 må koordinaterne til røringspunktet B derfor være B(- 4.33 , - 8.059 , 2)

#9

Til den første del hvor du bestemmer koordinaterne til røringspunktet A, har jeg følgende kommentarer:

a) Husk || om vektorer for at angive disses længder.

b) Det er ikke nødvendigt at bestemme vinkel C i OCA. Det er kun O der er interessant. Bemærk også at det ikke er nødvendigt eksplicit at beregne O (som du nogle steder kalder v). Det er nok at kende sin(O), thi så kendes også cos(O), og det er udelukkende disse der er nødvendige for at bestemme en normalvektor parallel med vektor OA.

c) Du begynder at beregne n uden først at definere hvad den er = en enhedsvektor parallel med OA. Gør i besvarelsen opmærksom på, at vi kender |OA| og at OA = |OA|n, d e r f o r skal vi finde n. Du nævner det rigtigt nok senere, men gør det omvendt.

d) Hvis det i dagens undervisning er skik og brug at regne med decimalfremstillinger så ok. Men ellers vil jeg nu anbefale at du angiver eksakte værdier - såsom ½sqrt(3).

Til din bestemmelse af koordinaterne for røringspunktet B har jeg følgende kommentarer.

a) Hvis du genlæser #1 og/eller #4 vil du se at B's koordinater fremkommer af A's ved at skifte fortegn på førstekoordinaten. Da kuglen har centrum på y-aksen og da begge tangentplaner indeholder z-aksen, er der symmetri om y-aksen. Røringspunktet B er derfor spejlbilledet af A i y-aksen.

b) Hvis du insisterer på at gennemføre præcist de samme regninger for B som for A, så begår du en fejl idet du angiver at

n = (- cos(pi/2-O), - sin(pi/2-O))

De korrekte koordinater er

n = (- cos(pi/2-O), sin(pi/2-O))

Igen er årsagen symmetrien om y-aksen. Vektor OB fremkommer ved spejling af OA i y-aksen.


#10
Koordinaterne for B er stadig forkerte, se ovenfor.

Jeg vender tilbage engang senere iaften og checker om du er med.

Hej!
Jeg har ikke haft tid til at kigge på det iaften men skal nok se på det imorgen!

endnu en gang tak for hjælpen!

Nu har jeg prøvet at rette det som du sagde.

har tegnet cirklen ved (0,10) og radius 5.

O har i rummet koordinaterne (0,0,2)
C har i rummet koordinaterne (0,10,2)
A har i rummet koordinaterne (x,y,2)

Vi ved ud fra de oplysninger vi får at lCAl = 5 (radiusen i kuglen)
Vi ved ud fra de oplysninger vi får at lOCl =10

vi kan nu bestemme en enhedsvektor, n, som er parallel med OA, hvor OA = |OA|*n = sqrt(75)*n

Bestemmelse af lOAl:

den kan så findes på følgende måde:

lOCl ^2 = lCAl ^2 + lOAl ^2 =>
10 ^2 – 5^2 = lOAl ^2 <=>
100 – 25 = lOAl ^2<=>
75 = lOAl ^2<=>
sqrt(75) = lOAl

vinklen imellem lOCl og lOAl eller vinkel O kan så bestemmes på følgende måde:

Sin(A) = a / c =>
sin(v) = |CA | / |OC| = ½ <=>
v = sin^-1 (1/2) <=>
v = 30 deg.

Dvs. at vinkel O = 30 deg.

Vi ved at vinkel O er vinklen imellem y-aksen og vektor OA. For at bestemme n skal vi bruge vinklen mellem lOAl og x-aksen. Men denne er jo pi/2-O. Vi har altså at

n = (cos(pi/2-O), sin(pi/2-O))

ydermere ved vi at der gælder:
cos(pi/2-O) = sin(O)
sin(pi/2-O) = cos(O)

derfor må n være:
n = (sin(O), cos(O))

ved indsættelsen fås følgende:

n = (1/2, 0,866025)

Nu kan vi bestemme en enhedsvektor n som er parallel med OA:
OA = |OA|*n
OA = sqrt(75)*n
OA= sqrt(75) * (1/2, 0.866025)
OA = (sqrt(75)/2 , 8.059)

Da OA er beliggende i planen z=2 må koordinaterne til røringspunktet A derfor være A(sqrt(75)/2, 8.059 , 2)

Bestemmelse af koordinaterne for B:

Vi ved at kuglen har centrum på y-aksen og dan begge tangentplaner indeholder z-aksen er der symmetri om y-aksen.
Røringspunktet B er derfor spejlbilledet af A i y-aksen.

Dvs. at B har koordinaterne B(-sqrt(75)/2, 8.059 , 2)

Det hjalp noget på det omend du angiver længden |OA| før den er beregnet idet du skriver

"vi kan nu bestemme en enhedsvektor, n, som er parallel med OA, hvor OA = |OA|*n = sqrt(75)*n
"

umiddelbart f ø r du beregner |OA|=sqrt(75).

Desuden bruger du stadig v istedet for O.

Som en sidste ting er du ikke konskevent i brugen af eksakte værdier versus decimalfremstillinger. Ekskakt har vi

|OA| = sqrt(75) = 5sqrt(3)

derfor

n=(sin(30),cos(60)) = (½,½sqrt(3))

og altså

OA = 5sqrt(3)*(½,½sqrt(3),0) = (5sqrt(3)/2,15/2,0)

Røringspunkternes koordinater bliver da eksakt

A(5sqrt(3)/2,15/2,2) og B(-5sqrt(3)/2,15/2,2)

Så kan du vist gå videre til bestemmelsen af ligningerne for planerne. Se #4.