Talfølge problem

tiderne som er opgivet er 10s, 1s, 0,1s     prøv at gæt de næste eller en generel formel. brug dernæst induktion til at bevise den

Okay..

Inden jeg gør det kom jeg til at tænke på, om man kunne løse den simplere ved at bruge en differensrække, idet at forholdet mellem 10,1,0,1 osv. vel bare er at det bliver divideret med 10 hver gang.

Det ville sige: (a_n)^infinity₁₀ --> a_n=10+(n/10)*(n-1) eller a_n=a_n-1+(n/10)

Kan man godt det? Er det en generel formel for varigheden af det n'te delløb? 

forholdet mellem 10,1,0,1 osv. vel bare er at det bliver divideret med 10 hver gang.  =>

a_n = 0,1 * a_n-1

Summen af tiderne for de tilbagelagte dellængder bliver:

10, 11, 11,1 . . . . . . . . . 11,111111111111111,  hvorfor Achilleus når skildpadden til tiden 11¹/₉ s

Når du har en geometrisk række S_{n =} a+ar+a²+...så består trikket i at finde en faktor at gange med (her r<1, umerisk) på begge sider af ligningen og derefter at trække den ene ligning fra den anden. Det er beviset for, at den ikke er uendelig. Så får du summen (ja regn det selv ud) Det er den samme formel, man bruger, når man skal regne rente og rentes rente

For overskuelighedens skyld, så skriver vi først delløbene som en række:

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... = 10*(1/1) + 10*(1/10) + 10*(1/100) +  10*(1/1000) ...

Ud fra dette kan man opsætte følgende sum for dette: \sum_{x=1}^{\infty} 10 * (1/10)^{x-1}

(Ekstra) For at omskrive summen af denne konvergerende geometriske serie, så får vi:

= 10 * 1 / (1-(1/10)) = 100/9

Når din opgave lyder at, du skal finde det n'te delløb, så skal du bruge sum serien, hvor du sætter den øvre grænse til at være n: 

\sum_{x=1}^{n} 10 * (1/10)^{x-1}    ( dette er den endelige løsning på opgaven )

For at finde summen for dette eksempel er rimelig let, når man har en smule træning. For at omskrive den -hvilket ikke var unødvendigt i dette tilfælde - så klares det også ganske let, men det kræver at man har sine formler ved hånden, ellers kan det blive en god del mere besværlig :)

Håber dette hjælper - og beklager min matematik syntax (math environment fra LaTeX).

Beklager for vrøvl i teksten :( Her har jeg rettet det:

#5

At finde summen for dette eksempel er rimelig let, når man har en smule træning. For at omskrive den - hvilket ikke var nødvendigt i dette tilfælde - så klares det også ganske let, men det kræver at man har sine formler ved hånden, ellers kan det blive en god del mere besværlig :)

Husk at det ikke er nok at have gættet på a_n. Det skal også bevises for eks. ved brug af induktion