Analyse vha. integraleregning + matrix

Hej,

Vi har en given bjælke med et tværsnitsareal A, en længde L og en densitet ρ.

Giver vi en af bjælkens endepunkter en lodret flytning på 1, mens vi fastholder den anden ende, kan man opskrive funktionen for udbøjning af bjælken vha. ψ₁(x), hvor x er en vilkårlig længde. Hvis vi nøjes med to flytninger hhv. lodret op og en vinkeldrejning på 1 i hver knude, får man i alt 4 kurveforløb, dvs. ψ₁(x)-ψ₄(x), hvor ψ₂ (x) er kurveforløbet for bjælken, der gives en vinkeldrejning i det første punkt på 1, mens den anden side er fastholdt og ikke bevæger sig.

Massematrixen er kvadratisk (4x4) og er defineret ved: ∫₀^L (ρ · A · ψ_i(x) · ψ_j(x))dx.

Udseendemæssigt ser den følgende ud:

                 |∫₀^L (ψ₁·ψ₁)dx     ∫₀^L (ψ₂·ψ₁)dx     ∫₀^L (ψ₃·ψ₁)dx    ∫₀^L (ψ₄·ψ₁)dx|

                 |∫₀^L (ψ₁·ψ₂)dx     ∫₀^L (ψ₂·ψ₂)dx     ∫₀^L (ψ₃·ψ₂)dx    ∫₀^L (ψ₄·ψ₂)dx|

                 |∫₀^L (ψ₁·ψ₃)dx     ∫₀^L (ψ₂·ψ₃)dx     ∫₀^L (ψ₃·ψ₃)dx    ∫₀^L (ψ₄·ψ₃)dx|

M = ρ · A · |∫₀^L (ψ₁·ψ₄)dx     ∫₀^L (ψ₂·ψ₄)dx     ∫₀^L (ψ₃·ψ₄)dx    ∫₀^L (ψ₄·ψ₄)dx|

Forklaring til 1. kolonne:

ψ₁·ψ₁ = Virkningen i lodret flytning i første punkt ud fra en lodret flytning i første punkt

ψ₁·ψ₂ = Virkningen i vinkeldrejningen i første punkt ud fra en lodret flytning i første punkt

ψ₁·ψ₃ = Virkningen i lodret flytning i andet punkt ud fra en lodret flytning i første punkt

ψ₁·ψ₄ = Virkningen i vinkeldrejningen i andet punkt ud fra en lodret flytning i førstepunkt

Spørgsmålet går ud på: hvad man egentlig finder ved at udregne integralet af produktet af to funktioner, eftersom integralet af én funktion giver arealet under kurven?

Massematrixen (M_e) kan i øvrigt ses på side 146 her:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/MECA-H-411-Lectures.pdf

Tak på forhånd.