Fourier analyse af periodisk bevægelse

Jeg har med vilje ikke brugt kompleksetal:)

Okay det bliver lidt roddet det her... ligningen ovenfor er selvfølgelig for de udæmpede svingninger. De dæmpede svingninger er givet ved  andenordens differentialligningen m*x''(t)+kx+½*p*A*Cw*x'(t)=0
I følge matematikken har en sådan lineær andenordens differentialligning en løsning på formen f(x)=c1*f1(x)+c2*f2(x)
Men jeg kan ikke få den ekspotentiel aftagende funktion som jeg jo gerne skulle have :)

Jeg forstår ikke hvad du mener med:

Men jeg kan simphelt ikke finde ud af at overføre mine data til fourierrækken. 

Du har nogle diskrete data  ( Logger Pro ? ). Disse data udfører du så en DFT ( Discrete Fourier Transform ) på, i et interval over een svingningperiode. Du kan f.eks. lave en DFT over 1. periode og over 7.periode, og kan så ud fra resutaterne sammenligne amplituder, og derudfra beregne den exponentielle aftagen.

Dette fordi Fouriertransformationer kun giver mening ved en periodisk svingning, altså når funktionen gentager sig selv i en række perioder. Men når du Fouriertransformerer en dæmpet svingning over mange perioder, gentager den jo netop ikke sig selv: Een periode har mindre amplitude end den forrige, og det er ikke en gentagelse.

PS:  Hvis resutatet af en Fouriertransformation, skulle angive en eksponentiel aftagen, måtte resultatet jo indeholde et led: K*e^at.

Men hvordan skulle et sådant led dukke op ?   Resultatet indeholder kun  sin- og cos-led, alias en række komplekse tal, der er faktorer til de forskellige harmoniske.

##3,4:  ( Tilføjelse ):   Du kan dog anvende Fouriertransformation til at "glatte" din graf ( fjerne målestøj ), og til at foretage en kunstig upsampling, også over flere perioder:

http://en.wikipedia.org/wiki/Upsampling

Men du kan ikke få "presset" en eksponentialfuntion ud ved det.

Hertil skal du bruge en Laplace transformation.  Den skal nok finde eksponentialfunktionen.  Men det var jo ikke det, der var opgaven.

Jeg har optaget fjederens bevægelse med programmet Data Stuidio (pasco versionen).
I programmet kan jeg lave en FFT (Fast Fourier Transform) men grafen for denne bliver meget uderlig og kan ikke bruges til noget... 
Hvis jeg forstår dig er jeg nødt til at benytte komplekse tal for at finde et ekspotentielt led? 
Jeg ved jo at jeg skal have multipliceret Amplituden med en negativ ekspotentil faktor. (dette kan jeg se på (t,x)-grafen som jeg har fået. Hvor tiden er ad 1.-aksen og positionen for fjederen ad 2.-aksen. 
 

Det jeg prøver er jo at få beregnet koefficienterne til en Fourierrække. Men da jeg ikke kan indsætte min teoretiske formel for fjederns bevægelse, hvad gør jeg så. I Data Studio har jeg ikke muligheden (så vidt jeg ved) at få "fittet" mine data til en bestemt funktion... 

forresten tak for svaret :)

Når du laver en FFT bliver resultatet en række komplekse koefficienter til 0. , 1. , 2. , . . . . , n. harmoniske.

Du kan så finde den absolutte værdi af disse tal, og kan evt. lave et stolpediagram, men da ikke en graf, der i min forstand udtrykker en mere eller mindre kontinuert funktion.

Hvis det det n. led  i FFT-resultatet f.eks. hedder   ( 0,2 - j0,3 ) betyder det, at den n. harmoniske kan skrives:

0,2*cos( n*ωt ) - 0,3*sin( n*ωt )

Denne række komplekse led, kan man så modificere, f.eks. kan du erstatte alle komplekse koefficienter med 0, for n>10.  Herved fjernes du alle højere harmoniske ( typisk målestøj, for hvorfor skulle din fjeder pludselig svinge med en frekvens = 11. harmoniske ? ).

Når dette er gjort, laver du en invers FFT, hvor resultatet igen er en række komplekse koefficienter, ( bør stort set være reelle, imagdel ≈ 0 ), der angiver funktionsværdierne af din målte graf, dog nu er renset for målestøj. Med de rensede data kan du tegne en "glattet" graf.

Sådan gør man det, man "fitter" ikke data.

Det er ud fra de rensede data, at du med større nøjagtighed kan måle amplituden af 1. periode og 7. periode, og dermed beregne den eksponentielle indhyldningkurve.

Din FFT kan ikke beregne denne eksponentialfunktion, for en FFT aner ikke hvad det er, hvis du forstår. Den kan bare fjerne målestøj, lave flankerne stejlere på en firkantkurve, osv.  Du må altså lave lidt manuelt arbejde og lidt "håndværk", for at fremtrylle eksponentialfunktionen.

Men som nævnt i #5 kan diskret Laplacetransformation, alias z-transformation, finde en sådan eksponentialfunktion.

Nej nej jeg er heller ikke bleg for at lave lidt manuelt arbejde:) 
men jeg føler mig bare på bar bund, men det er nok fordi jeg ikke har så godt styr på det med computer programmer... Jeg har vedhæftet et screenshot af min FFT, for en udæmpet svingning, men forstår simpelhent ikke hvad jeg kan bruge det til?

Din graf, ( som burde være et stolpediagram ), viser to "spikes":  Ved 0Hz og  ved ca. 3Hz, ( nu er jeg jo lidt usikker på skaleringen her )     :)

Men den 0. harmoniske angiver jo offsettet på din måling ( dc-mæssigt ), og den næste "spike" viser amplituden af den dominerende svingning.

Din målte graf kan derfor overordnet skrives:    A(t) =  sin(ωt) + k.

Prøv nu at modificere de data, der ligger til grund for den viste graf, ved at sætte den 0. harmoniske = 0.

Foretag nu en invers FFT, og tegn en graf for resultatet heraf. Denne vil nu tegne din målte kurve, men med x-aksen som symmetriakse ( du har fjernet offsettet ). Den graf du nu får tegnet kan overordnet skrives:

A(t) = sin(ωt) + 0.

Prøv at "lege" lidt med det, så du bliver fortrolig.

Alt over ca. 6"Hz", har en nogenlunde konstant værdi, hvilket svarer til "hvid støj".

Når du er blevet fortrolig med teknikken, kan du prøve at nulstille det ( eller hellere "fade" det ud over et antal harmoniske, f.eks med faktorerne:  1   1   1   1 (6Hz) 0,9  0,8  0,7 . . . . . . 0,1  0   0   0   0 . . . . . .

For lige at være sikker så mener du at jeg skal lave et søjle diagram som et jeg har vedhæftet? :) 
Den første søjle er den o. harmoniske? 
Angiver søjlerne alplituden? Altså eksempel ved 5 Hz er amplituden ca. 0,1 hvad meter? det er jo for meget..

Ja, da.  Nu kan man jo ligefrem tælle sig frem til f.eks. 10. harmoniske. Altså søjlediagrammet viser "virkeligheden".

Ja, 1. søjle = 0. harmoniske.

Jeg kender ikke din skalering = meter * volt/meter * tern/volt

Jeg kunne bare ikke lige finde ud af hvad måleenheden var da den tidligere var i meter, men den blev ændret da jeg lavede FFT... 
Jeg er helt ny til det her Fourier, men jeg har aflæst med et værktøj i programmet at den 0. harmoniske er 25. hvis 0. harmonisk skal være lig nul hedder funktionen så: x(t)=Asin(wt)-25?
Det kan ikke være sådan.. hmm er lidt lost, men synes det er ret spændende, det virker som om at det åbner for nogle helt nye muligheder! :)

Nej, din målte funktion hedder  A*sin(ωt) + 25 :   Den svæver over x-aksen.  Har jeg ret ?

Jeg kan se på søjlediagrammet, at diagrammet er autoskaleret, således at amplituden af den dominerende svingning = 1. Derfor har y-aksen ingen enhed, da skaleringen er "flydende".

Endvidere kan jeg, nu hvor jeg kan tælle de hamoniske, se at der er foretaget ca. 30 samples ( målinger ) pr. svingningsperiode.  Har jeg ret her ?

Jeg får det til 17 sampels pr. periode. 
Ja selvfølgelig svæver min funktion over x-aksen, da jeg med en bevægelsescensor målt afstanden til fjederen og derved kan den jo ikke være mindre end nul? 
Ingen ide om autoskaleret eller ej :)

Den er autoskaleret. Y-aksens "enhed" står jo angivet til "relative amplitude".

Kan du lave en invers FFT ?

Kan du modificere Fourier-rækken ?

Jeg ser frem til at se nogle før/efter billeder !

Jeg har selv arbejdet en del med Fouriertransformation, hvor formålet var at korrigere billeder i form af:

-    Contast enhancement

-    Dynamic contrast enhancement

-    Edge enhancement

. . . derefter, at få samme computer ( eller rettere 7 i parallel ) til at behandle omkring 25 billeder pr. sekund og udmåle/beregne dimensioner på emner under produktion, lokalisere fejl, osv.  Det er utroligt, hvilken præcision man kan opnå med denne teknik.

okay... Jeg fik ændret "relative amplitude" til amplitude. Jeg aflæste den søjle som havde den største værdi og multiplicerede min funktion med den værdi. Så aflæste jeg på den gamle graf (IKKE FFT) største værdien og mindste værdien, og dividerede med to denne værdi trak jeg fra mindste værdien og dermed fås amplituden. (her er tale om (t,x)-grafen!)
så danne jeg selv en graf på formen, A*sin(wt)*k
hvor vinkelfrekvensen er fra min "gamle" funktion. og dermed fik jeg, en sinus funktion med samme amplitude, vinkelfrekvens men den har ligevægtsstilling som x-aksen.

har vedhæftet billeder fra før og efter, er der sådan du mente?

 

og efter

Det blev noget vrøvl med amplituden jeg skrev før men fandt middelværdien mellem maks og minumin

Det jeg mente var, at du skulle ændre FFT-værdien for første søjle, og derefter lave en invers FFT. Du skulle så opnå det samme, men samtidig blive fortrolig med hvad der sker, når man modificerer FFT-værdier, altså en slags øvelse/træning.

Herefter kunne du så have modificeret de højere harmoniske, som beskrevet i  #10.

Altså jeg ville guide dig til et slutresultat. Så jeg ser frem til et før/efter billede, når du har fjernet støj.

PS:  Du må gerne "hive" lidt i x-aksen, så der f.eks. kun kommer 4-5 perioder med på billederne.