integraler ved substitution

     ∫ x • ln(x²- 4) dx
                   sæt
                              u = x²- 4   og dermed   (1/2)du = xdx

For det første integral, se diskussionen i denne tråd

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1432084

For det sidste integral kan man benytte, at 2^ln(x) = e^ln(x)·ln(2) = x^ln(2) , så

∫ (1/x) · 2^ln(x) dx = ∫ x^ln(2)-1 dx   . Benyt nu ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) , n ≠ -1 .

Man kunne også i det sidste integral benytte substitutionen u = ln(x) , du = (1/x) dx .

Hvor kommer (1/2) fra? Jeg har ret svært ved det med integration ved substitution så det kunne være rart hvis i virkelig kunne skære det ud i pap for mig? 

#3

Med substitutionen u = x² -4 har man du = 2x dx og dermed x dx = (1/2) du . Men se i øvrigt diskussionen i den anden tråd.

Har set den anden tråd nu, men kan stadig ikke se det for mig.. jeg tror det er fordi jeg skriver det op på en anden måde? Kan du kigge på følgende screenshot og se hvad jeg gør galt muligvis? jeg kan godt se, at da der står 2x, at man så vil gange med 1/2, men kan ikke se hvordan jeg skal skrive det op? 

http://gyazo.com/27464490230c06703dcdf321bbd6d45d

Håber du forstår hvad jeg mener, jeg bliver bare forvirret når der indgår "ln(x)" osv... 

      ∫ x • ln(x²- 4) dx  =  ∫ ln(x²- 4) xdx  =  (1/2)• ∫ ln(u) du  = (1/2)•(u·ln(u) - u) + k  = (1/2)•u•(ln(u) - 1) + k =

                                                         (1/2)•(x²- 4)•(ln(x²- 4) - 1) + k

#0

Er det midterste integral skrevet korrekt:

∫ x · ln(x³ + 6) dx            ?

Yes, det er skrevet sådan i min opgavebeskrivelse

#8

Men den midterste opgave er mange gange mere kompliceret end de to øvrige opgaver i dit indlæg. Derfor spørger jeg, om den er skrevet korrekt.

Hvordan kan det være? Jeg har ikke prøvet at løse den endnu nemlig 

#10

Hvis det havde drejet sig om integralet

∫ x² · ln(x³ + 6) dx   

ville   u = x³+6 , du = 3x² dx  være en oplagt substitution, da man så får

∫ x² · ln(x³ + 6) dx = (1/3) · ∫ ln(u) du = (1/3) · (u·ln(u) - u) + k

                           = (1/3)·(x³+6)·(ln(x³+6) - 1) + k ,

men for integralet som det er formuleret her (#7) giver ingen af de oplagte substitutioner et bekvemt resultat.

Det andet integral, som det er formuleret i #0 (og også i den anden tråd, hvortil der henvises i #2) kan beregnes ved at faktorisere indmaden i logaritmen:

∫ x · ln(x³ + 6) dx = ∫ x · ln(x³ + (6^1/3)³) dx

                         = ∫ x · ln( (x+6^1/3)·(x² - 6^1/3·x + 6^2/3) ) dx

                         = ∫ x·ln(x+6^1/3) dx + ∫ x·ln(x² - 6^1/3·x + 6^2/3) dx

Det første integral i summen har formen (med a = 6^1/3)

∫ x·ln(x+a) dx = ∫ (x+a)·ln(x+a) d(x+a) - a · ∫ ln(x+a) d(x+a)

                    = (1/2)·(x+a)²·ln(x+a) - (x+a)²/4 - a·((x+a)·ln(x+a) - (x+a))

                    = (1/2)·(x+a)·(x-a)·ln(x+a) + (1/4)·(x+a)·(3a-x)

                    = (1/2)·(x+a)·(x-a)·ln(x+a) + (1/4)·x·(2a-x) + k .

Det andet integral har formen (igen med a = 6^1/3)

∫ x·ln(x² -ax +a²) dx = (1/2)·x²·ln(x²-ax+a²) - ∫ (1/2)x²·(2x-a)/(x²-ax+a²) dx

                             = (1/2)·x²·ln(x²-ax+a²) - (1/2)·∫ (2x+a -a²·(x+a)/(x²-ax+a²)) dx

                             = (1/2)·x²·ln(x²-ax+a²) - (1/2)·∫ (2x+a) dx + (1/2)·a²·∫ (x+a)/(x²-ax+a²) dx

           = (1/2)·x²·ln(x²-ax+a²) - (1/2)·(x²+ax) + (1/2)·a²·((1/2)·ln(x²-ax+a²) + (3a/2)·∫ 1/(x²-ax+a²) dx)

           = (1/2)·x²·ln(x²-ax+a²) - (1/2)·(x²+ax) + (1/4)·a²·ln(x²-ax+a²) + (3a³/4)·(2/(a√3))·Arctan((2x-a)/(a√3))

           = (1/2)·x²·ln(x²-ax+a²) - (1/2)·(x²+ax) + (1/4)·a²·ln(x²-ax+a²) + (a²(√3)/2)·Arctan((2x-a)/(a√3))

Det samlede integral er så summen af de to stamfunktioner.