Matematik
Reduktion til separabel form
Hej
Hvis man har en funktion, der ser følgende ud: y' = f(y/x), så kan man reducere den til en separabel form ved at substituere u = y/x eller y = ux.
Differentieres y, så (differentiation af et produkt): dy/dx = u'x + u
Den oprindelige ligning bliver derfor: u'x + u = du/dx · x + u = f(u) eller du/(f(u) - u) = dx/x, som kan løses.
Det var den generelle form, men jeg har et problem med at løse: 2xyy' = y2 - x2,
som kan reduceres til y' = (y2 - x2)/(2xy) = y/(2x) - x/(2y)
Hvordan kommer jeg videre herfra, hvis jeg skal bruge den samme metode som nævnt ovenfor?
Tak på forhånd.
Svar #1
31. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Benyt, at
y' = (1/2)·((y/x) - 1/(y/x)) .
Sæt u = y/x ; så er y = x·u, y' = u + x·u' , så
u + x·u' = (1/2)·(u - 1/u) , og dermed
x·(du/dx) = -(1/2)·(u + 1/u) , eller
u/(1+u2) du = -(1/2)·(1/x) dx
Skriv et svar til: Reduktion til separabel form
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.