Matematik

Integration

13. februar 2014 af Haxxeren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Hvordan udregner jeg følgende i hånden:

∫(e^sin(x) sin(x)cos(x) dx)?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. februar 2014 af SuneChr

Anvend
1)    Substitutionen    t = sin x       dt = cos x dx
2)    ∫ t·e^t dt = t·e^t - ∫ 1·e^t dt
3)    Substituér tilbage.

Svar #2
13. februar 2014 af Haxxeren

Super, tak. Den har jeg klaret nu.

Hvad med ∫sin(x)/x dx og ∫tan^-1(e^x)dx?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

∫ sin(x)/x dx = Si(x)

Det er definitionen for integral-sinus funktionen Si(x). Den kan ikke ellers udtrykkes simpelt ved de kendte elementære funktioner.

Svar #4
13. februar 2014 af Haxxeren

Helt specifikt skal jeg løse differentialligningen: y' + 1/x y = sin(x)/x, der kan sammenlignes med (den generelle) formen y' + py = r.

Denne differentialligning af 1. orden har løsningen: y = e^h [∫e^h r dx], hvor h = ∫p dx.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Så er h(x) = ln(x) , og dermed ∫ e^h(x)·r(x) dx = ∫ sin(x) dx = -cos(x) .

Svar #6
13. februar 2014 af Haxxeren

Du har sku ret!

Hvordan kom du frem til, at ∫ e^h(x)·r(x) dx = ∫ sin(x) dx?

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Da h(x) = ln(x), er

e^h(x)·r(x) = e^ln(x) · sin(x)/x = x · sin(x)/x = sin(x)

Svar #8
13. februar 2014 af Haxxeren

Løst, tak.

Hvad med denne her: ∫(e^x tan^-1(e^x) dx)

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. februar 2014 af SuneChr

# 3
Er det tilladt, at dividere med x i udviklingen af sin x i potensrække,
således at vi får
$\int \frac{\sin x}{x}\, dx=\sum_{i=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{i}\cdot \frac{x^{2i+1}}{\left ( 2i+1 \right )\cdot \left ( 2i+1 \right )!}$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#9. Det er tilladt at dividere med x, når x ikke er lig med 0.

Svar #11
13. februar 2014 af Haxxeren

Som #5 gjorde opmærksom på det, så havde jeg opfattet løsningsformlen forkert. Det er klaret. :-)

Mangler nu problemet i #8 (baseret på differentialligningen: y' + y = tan^-1(e^x)).

Svar #12
13. februar 2014 af Haxxeren

#11

Er her ingen, der kan gennemskue problemet i #8 (#9)?

Brugbart svar (0)

Svar #13
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12. Integralet med Arctan og exp er endnu mere ubehageligt end integralet med sin(x)/x. Prøv at forklare, hvor det integral kommer fra.

Svar #14
13. februar 2014 af Haxxeren

#13

Det kommer fra differentialligningen: y' + y = tan^-1(e^x), som igen skal sammenlignes med formen i #4

(y' + py = r med løsningen y = e^-h [∫e^h r dx], hvor h = ∫p dx).

Brugbart svar (0)

Svar #15
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Men så er det jo integralet

∫ e^x · tan^-1(e^x) dx

der skal bestemmes. Benyt substitutionen t = e^x , dt = e^x dx .

Svar #16
13. februar 2014 af Haxxeren

#15

Hvordan integrerer man tan^-1(t) mht. t?

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Man benytter partiel integration.

∫ e^x · tan^-1(e^x) dx = ∫ tan^-1(t) dt = t·tan^-1(t) - ∫ t/(1+t²) dt = t·tan^-1(t) - (1/2)·ln(1+t²) + k

= e^x·tan^-1(e^x) - (1/2)·ln(1+e^2x) + k

Svar #18
13. februar 2014 af Haxxeren

#17

Partiel integration af hvad? Der står jo kun én funktion.

Hvad gør du fra: ∫ tan^-1(t) dt?

Brugbart svar (0)

Svar #19
13. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#18

Partiel integration af 1·tan^-1(t) . En stamfunktion til 1 er t, og den afledede af tan^-1(t) er 1/(1+t²) .

Svar #20
13. februar 2014 af Haxxeren

#19

Grunden til at du bruger tallet 1, er det fordi, at man ikke kan integrere tan^-1(t) alene?

Forrige 1 2 3 Næste

Der er 58 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.