Teorien bag omdrejningslegmer

Lad der være givet punktmængden M bestemt ved

M = {(x,y)E RxR |a=<x=<b ^ f(x)=<y=<g(x)}

hvor f og g er kontinuerte funktioner på intervallet [a,b]. Vi ønsker at bestemme volumet V af den punktmængde der fremkommer ved rotation af M om y-aksen.

M ses at være området mellem linierne med ligningerne x=a og x=b og graferne for funktionerne f og g. Det vil være dig en hjælp at lave en illustration.

I et vilkårligt x0 E [a,b[ indlægger vi nu en strimmel parallel med y-aksen og med tykkelsen h<<1 i x-aksen's retning. Strimmelen begrænses i M nedadtil af grafen for f og opadtil af grafen for g.

Denne strimmel vil ved rotation om y-aksen danne et rør, altså to cylinderflader der begge har y-aksen som længdeakse.

Idet vi har antaget at h<<1 kan vi tilnærmelsesvist ansætte de to cylinderflader til at have samme areal A(x0). En cylinders overfladeareal er bestemt som

A_cyl = 2piRL

hvor R og L er henholdsvis cylinderens radius og højde. Vi har altså

A(x0) = 2pi*x0*(g(x0)-f(x0)

Volumet, delta_V, af området mellem de to cylinderflader er lig overfladearealet ganget med afstanden mellem fladerne ("rørtykkelsen")

delta_V = A(x0)h = 2pi*x0*h*(g(x0)-f(x0))

Volumet V approximeres ved summation over samtlige cylinderrør der fremkommer ved rotation af strimler med tykkelsen h mellem x=a og x=b om y-aksen.

Ved nu at foretage de sædvanlige overvejelser vedrørende grænsesummer kan man redegøre for at volumet V bestemmes eksakt som

b
S[2pi*x*[g(x)-f(x)]dx = V
a

Hvis specielt f(x)=0 fremkommer den formel du angiver.