Matematik

Compute the volume of the cone

24. februar 2014 af kiaegeriis (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal finde rumfanget af en kegle via triple integraler.

Min opgave lyder som følger:

Compute the volume of the cone D = (x,y,z): x²+y²≤ z², 0 ≤ z ≤ 1.

Rumfanget af en kegle er:

V = 1/3πR²h

Jeg tænker at jeg eventuelt skal lave intergralet om til cylindriske koordinater og at det vides:

$dV = rdzdrd\theta$

Men jeg har svært ved at finde frem til i første omgang, mit triple integrale.

Håber nogen kan hjælpe :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. februar 2014 af hesch (Slettet)

Skær keglen i cirkulære skiver med tykkelsen dz.

Skær ringe ud af skiverne med bredden dr.

Areal_ring = Omkreds*dr = ∫ 2π*r dr

Areal_skive = ₀∫^R ∫ 2π*r dr dr

Volumen_kegle = ₀∫^HAreal_skive(z) dz = ₀∫^H ₀∫^R(z) ∫ 2π*r dr dr dz

Eller ? Det er da et tripleintegral.

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. februar 2014 af Therk

Med

$D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}\, | x^2+y^2 \leq z^2, z\in[0,1] \}$

kan du få afgrænsningerne af de tre variable:

$\sqrt{x^2+y^2} &\leq z \leq 1, \\ -\sqrt{1-y^2} &\leq x \leq \sqrt{1-y^2}, \\ -1&\leq y \leq 1,$

og udregn da

$\int\int\int 1\, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,$

eller omskriv til polære koordinater med radius,

$r = \sqrt{x^2+y^2},$

så

$\int_{0}^{2\pi}\int_0^1\int_{r}^1 r \; \mathrm{d}z \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta.$

Gav det mening?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. februar 2014 af Therk

Var det behjælpeligt?

Svar #4
26. februar 2014 af kiaegeriis (Slettet)

Jeg ville gerne skrive ja.. Men det er desværre et emne jeg slet ikke forstår mig på og jeg har svært ved at forstå vores forlæser..

Jeg troede jeg skulle bruge noget alla:

: $D=\int \int \int dV f(x,y,z) = 1$

Og vi har ikke fået opgivet en funktion, så er det bare at integrere over konstanten 1 som du skriver?

$D=\int \int \int 1 rdrd\Theta dz$

Når jeg deler den her cone op, får jeg så en cylinder, siden at du har sat grænserne som du har?

$0\leq z\leq 1$
$0\leq r\leq z$
$0\leq \Theta \leq 2\pi$

Og er det evalueringen, eller kan man gøre mere ?

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{z} 1 drd\Theta dz$

Svar #5
26. februar 2014 af kiaegeriis (Slettet)

HVordan har du fundet frem til de første grænser ?

"kan du få afgrænsningerne af de tre variable:" :)

Svar #6
26. februar 2014 af kiaegeriis (Slettet)

Det her har jeg lavet indtil videre. Men hvordan får jeg mine grænser til at blive på cylindrisk form.

jeg ved at x = rcos(theta) og at y = rsin(theta).... men derfra ved jeg ikke hvad jeg skal gøre

Vedhæftet fil:Aflevering matematik uge 10.docx

Svar #7
26. februar 2014 af kiaegeriis (Slettet)

Mon det er rigtigt?

Vedhæftet fil:Aflevering matematik uge 10.docx

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. februar 2014 af Therk

Ved idiotformlen har, at

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin \theta)^2} = r \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = r,$

hvorfor vi erstatter med r (eller Adams s. 825 ifl. dit dokument).

Med r = (x^2+y^2)^1/2 har du nu grænserne for z (og r):

$\\r \leq z \leq 1 \Leftrightarrow z \in [r,1]\\ 0 \leq r \leq 1 \Leftrightarrow r \in [0,1].$

$\cos\theta = \cos (\theta - 2n\pi) \quad \forall n\in \mathbb{N},$

skal vi kun betragte θ∈ [ 0, 2π ]. For hvilke θ gælder nu, at r ∈ [ 0,1 ]? (Det fremgår af idiotformlen ovenfor.)

Så har du dine tre mængder, du skal integrere over. :) Husk, at du skal integrere r (per dit dokument: Adams s. 843)

Du kan kontrollere dit resultat med formlen for volumen af en kegle:

$\frac{1}{3} r^2h\pi = \frac{1}{3}\pi \quad \text{for } r=1, h=1.$

Når du uploader sådan et dokument, så smid referencenumre på dine ligninger - det gør det nemmere at referere til dit arbejde. :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. februar 2014 af Therk

Det er næsten rigtigt. Du skal lige have din integrationsorden rigtig. Husk, at $\int \int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int \left(\int \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.$

Du har pt. grænserne for θ ved integralet over z!

Svar #10
26. februar 2014 af kiaegeriis (Slettet)

Det har du ret 1 !! Mange gange tak for hjælpen! :)

Brugbart svar (0)

Svar #11
26. februar 2014 af Therk

Velbekomme!

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. marts 2014 af Drowranger (Slettet)

Hvad mener du med det? Hvad er det der er skrevet forkert? :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. marts 2014 af Therk

#12: I dokumentet fra #7, 2. side, nederst er der opskrevet trippleintegralet

$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^1 \int_0^z r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z$

men det kan skrives som

$\int_{0}^{2\pi} \left(\int_{0}^1 \left( \int_0^z r \, \mathrm{d}r \right ) \mathrm{d}\theta \right) \mathrm{d}z$

som tydeliggører, at grænserne for θ og z er byttet om.

Brugbart svar (0)

Svar #14
05. marts 2014 af khalidamar (Slettet)

Jeg har også svært ved denne opgave. Hvad gør man herfra?

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. marts 2014 af Therk

#14: Du bliver nødt til at præcisere. Hvor sidder du fast henne?

Skriv et svar til: Compute the volume of the cone

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.