Logaritmen til en sum

I specieltilfælde, såsom c=0 eller a ob således beskafne, at der er tale om en andengradsligning i forklædning, ja.

I det helt almindelige tilfælde nej.

Korrektion:

"a ob " -> "a og b".

Så vidt jeg kan se, vil det kun i ganske særligt heldige tilfælde (d.v.s. heldige værdier for a og b) kunne lade sig gøre at løse dette analytisk:

Da exp(ax) = e^(ax) = (e^x)^a,

kan du omskrive ligningen til

(e^x)^a + (e^x)^b = c.

Hvis du sætter e^x = t, er dette det samme som

t^a + t^b - c = 0.

Hvis du nu antager, at a ikke er 0, og så sætter n = b/a og igen sætter s = t^a, så kan ligningen omskrives til

s + s^n - c = 0.

Hvis n er -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 eller 4 så vil det hele kunne laves om til en ligning af grad 4 eller derunder, og det kan løses (dog ikke så nemt hvis det bliver af 3. eller 4. grad). Ligninger af grad 5 eller højere vides ikke at have nogen generel analytisk løsning.

Hvis n ikke er et af disse hele tal, så tror jeg ikke det kan løses analytisk.

I det trivielle tilfælde c =< 0 er der oplagt ingen løsning. Så hvis ikke det skal være alt for kedeligt, må det forudsættes, at c > 0.

Her et par specialtilfælde, hvor en analytisk løsning er mulig og tillige let at gennemføre.

(1)
Såfremt a = b = 0, er ligningen

exp(ax) + exp(bx) = c (*)

trivielt sand for alle x, hviss c = 2.

(2)
Hvis a = 0, b != 0 (det omvendte tilfælde er analogt), har (*) kun løsninger (endda præcis én), hviss c > 1, nærmere bestemt

x = ln(c-1)/b,

(3)
Tilfældet a,b != 0 er betydeligt sværere. Men hvis b = -a kan (*) altid løses analytisk, hviss c >= 2.

Da kan

exp(ax) + exp(-ax) = c

ved multiplikation med exp(ax) bringes i form af en andengradsligning,

{exp(ax)}^2 - c*exp(ax) + 1 = 0,

For c = 2 haves præcis én løsning, x = 0. For c > 2 haves to løsninger.

I det generelle tilfælde kan man sætte k = b/a og skrive (*) således

{exp(ax)}^k + exp(ax) - c = 0,

Dette motiverer, at man ser på ligninger af formen

t^k + t - c = 0,

Såfremt k = -3,-2,...,3,4, kan denne ligning behandles analytisk, idet en omskrivning til ligning af grad højst 4 er mulig. Tilfældet k = 0 svarer til punkt (2).

I generel forstand kan (*) ikke løses analytisk.

//Epsilon

Jeg skulle nok have sagt straks, at dette ikke er en matematikopgave med specialtilfælde af a og b og c = 0 og den slags, men en modellering af et fænomen fra det virkelige liv. Det drejer sig om beskrivelsen af et transient fænomen, en parameter I der vokser fra 0 til 90% af max. i løbet af t1, passerer max. og falder til 50% i løbet af t2. Det er en slags enkeltbølge, der passerer med en stigtid og en faldtid.

Man kan beskrive forløbet som:

I = MIN(Î*(1-EXP(-t/tau1));Î*EXP(-t/tau2))

og strengt taget behøver de to Î ikke at være ens, men det forenkler det. I henhold til en norm har man lagt sig fast på at:

t1 = 10, max. = 200 og t2 = 350

og ved fiddlen og lidt regneri i Excel kan man nå frem til at med

Î = 207, tau1 = 4.9 og tau2 = 481

får man en god kurve, og så bør jeg være tilfreds med det, men så er det, at min matematiske opdragelse får overtaget, og jeg tænker at det må kunne klares mere elegant.

De to funktioner skærer hinanden i tmax, og det kræver løsning af

exp(ax)+exp(bx)=c, hvor
a=-1/tau1, b=-1/tau2 og c=1,

og det lader sig så desværre ikke gøre.