Side 2 - Integration

Man skal have

        c·e^kx + d·e^-kx = C·(e^kx + e^-kx)/2 + D·(e^kx - e^-kx)/2

der giver

        c = C/2 + D/2   og   d = C/2 - D/2       eller      C = c+d   og     D = c-d

og tilsvarende

        a·e^ikx + b·e^-ikx = A·cos(kx) + B·sin(kx) = A·(e^ikx + e^-ikx)/2 + B·(e^ikx - e^-ikx)/(2i)

der giver

        a = A/2 + B/(2i)     og    b = A/2 - B/(2i)     eller     A = a+b     og    B = i·(a - b)

#21

Hvad laver du allerede i den første ligning?

#22

Jeg formoder, at du ønsker at omskrive en løning af formen

        F(x) = a·e^ikx + b·e^-ikx + c·e^kx + d·e^-kx

til formen

        F(x) = A·cos(kx) + B·sin(kx) + C·cosh(kx) + D·sinh(kx)

                = A·(e^ikx + e^-ikx)/2 + B·(e^ikx - e^-ikx)/(2i) + C·(e^kx + e^-kx)/2 + D·(e^kx - e^-kx)/2

og så skal ligningssystemerne i #21 jo gælde.

#23

Det er helt korrekt, men hvordan kan du "bare" komme frem til det første udtryk i #21? Du lægger de reelle løsninger sammen og dividerer med 2. Bagefter trækker du dem fra hinanden og divderer med 2. Til sidst lægger du så løsningerne sammen. Hvordan kan du "bare" se det? Jeg er ikke helt med.

#24

De fire funktioner e^ikx, e^-ikx, e^kx og e^-kx er lineært uafhængige. Hvis der skal gælde

        a·e^ikx + b·e^-ikx + c·e^kx + d·e^-kx = A·(e^ikx + e^-ikx)/2 + B·(e^ikx - e^-ikx)/(2i) + C·(e^kx + e^-kx)/2 + D·(e^kx - e^-kx)/2

må der nødvendigvis gælde de ligninger, jeg skrev op i #21 .

Man benytter definitionerne for

        cosh(x) = (e^x + e^-x)/2 , sinh(x) = (e^x - e^-x)/2, cos(x) = (e^ix + e^-ix)/2 , sin(x) = (e^ix - e^-ix)/(2i)

#25

Ok, tror godt jeg har fanget den reelle del, men har vi ikke:

a·e^ikx + b·e^-ikx = a(cos(kx) + isin(kx)) + b(cos(kx) - isin(kx))?

#25

Jeg har fanget det nu, tak! :-)