Matematik

Integration ved substitution

11. februar 2006 af Herter (Slettet)

Jeg har følgende funktion (S=integraltegn,"~2" betyder "i anden":

Sx*ln(3x~2+5)dx = ?

vi sætter:
t = 3x~2+5
dvs at dt = 6x

Men så er jeg gået i stå.. :/

Hjálp! :)

ps. Skriv det langsomt da jeg ikke fatter så meget af det her... jeg tog MatB for 6 år siden og fulgte SLET ikke med dengang.. ;)

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. februar 2006 af Carsten_L (Slettet)

Du skal gange med 1/6, idet dt = 6x, og du skal altså finde en stamfunktion til ln(t)dt. Du skal huske også at ændre grænserne hvis det er et bestemt integrale, og hvis det ikke er bestemt, skal du selvfølgelig substituere tilbage.

Svar #2
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

Det jeg er kommet frem til hidtil er:

Sx*ln(3x~2+5)dx = Sx*ln(t)dt = ..

t = 3x~2+5
dt = 6x

Men jeg kan ikke rigtigt komme videre.. jeg er totalt på bar bund.. :(

Hvis du kunne lige hjælpe mig et skridt videre og forklare hvorfor jeg skal gør det jeg skal gøre så ville det være fantastisk.. :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. februar 2006 af Carsten_L (Slettet)

S(x*ln(3x^2+5))dx, hvor

t = 3x^2+5, og dt = 6xdx.

(1/6)* S(ln(t))dt

Hvis vi ikke ganger med 1/6, er substitutionen ikke korrekt, idet der efter substitutionen skal stå det samme som før. Skriv igen, hvis dette ikke var tilstrækkeligt

Svar #4
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

Jeg forstår bare ikke helt hvorfor jeg skal gange med 1/6.. hvor får du det fra?

Og hvor er x fra den første linje forsvundet hen?

Undskyld hvis mine spørgsmål er dumme :/

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. februar 2006 af Carsten_L (Slettet)

Det er en meget firkantet forklaring, men når man substituere, skal alle x'er udskiftes med t'er, således at der i hele integralet kun er t'er. I vores tilfælde substituerer vi med t = 3x^2+5, hvorefter dt = 6xdx. Det oprindelige integrale er

S(x*ln(3x^2+5))dx

Vi ser, at t kan indsættes

S(x*ln(t))dx (meget forbudt, jævnfør ovenstående!)

Men ved indsættelse af t, skal dt også indsættes, og vi får da

S(ln(t))dt

Hvis vi substituerer tilbage, står der følgende

S(6x*(ln(3x^2+5))dx

Vi ser, at 6 er "overflødigt", og ergo multiplicerer vi med 1/6 foran integralet. Heraf opnås

(1/6) * S(ln(t))dt

Skriv igen, hvis det står lidt uklart

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. februar 2006 af IBM (Slettet)

Det er en lidt uklar forklaring; spørgeren skalbare indse, at:

S(x*ln(3x^(2)+5)dx

er det samme som:

S((1/6)6x*ln(3x^(2)+5)dx

(1/6) er en konstant og kan sættes uden for integraletegnet.

Svar #7
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

Dvs:

t = 3x~2+5
dt = 6x

Sx*ln(3x~2+5)dx = Sx*ln(t)dt
= 1/6*Sln(t)dt = 1/6*(t*ln(t)-t)
= 1/6*(3x~2+5)*(ln(3x~2+5))-(3x~2+5)

Kan det passe?

Jeg må indrømme at jeg stadig ikke helt fatter det med at X'et skal smides ud og man så indsætter 1/6 istedetfor :/

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. februar 2006 af Carsten_L (Slettet)

1/6*(3*x^2+5)*ln(3*x^2+5)-1/2*x^2-5/6 får jeg det til

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. februar 2006 af Carsten_L (Slettet)

Eller ja, #7 er korrekt, jeg har bare ganget ind

Svar #10
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

ifølge facit er det:

1/6*(3x~2+5)*ln(3x~2+5)-1/2x~2+k

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. februar 2006 af Carsten_L (Slettet)

Det burde meget gerne være 1/6*(3*x^2+5)*ln(3*x^2+5)-1/2*x^2-5/6 + k - prøv at se efter igen efter -5/6

Svar #12
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

nope.. den siger: 1/6*(3x~2+5)*ln(3x~2+5)-1/2x~2+k

Min lommeregner siger:

(3x~2+5)*(ln(3x~2+5)-1)/6

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. februar 2006 af Deschain (Slettet)

forklaring på 1/6 dt:

der gælder at:

Sf(g(x))*g'(x)*dx = Sf(t)*dt

Vi ser nu på det konkrete eksempel. Ln(3x^2+5) er en sammensat funktion hvor g(x)=3x^2+5 er den indre og f(x)=ln(x) er den ydre.

Så sætter vi t=g(x)=3x^2+5

og diffenretierer

t'=dt/dx= 6x

Idet vores sammensattefunktion bliver ganget med xdx isolerer vi dette i ovenstående selvom dt/dx normalt er et samlet symbol:

dt/dx=6x <=> (1/6)dt=xdx

Altså Sln(3x^2+5)*x*dx = Sln(t)*(1/6)dt

Jeg håber det er til at forstå, selvom det måske er lidt besværligt forklaret:S ellers så bare spørg!

Svar #14
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

hmm ja: der faldt det lidt på plads :) takker :)

Nu er jeg kommet så langt:

t = 3x~2+5
dt = 6x <=> 1/6*dt = x*dx

Sx*ln(3x~2+5)dx = 1/6*Sx*ln(t)dt
= 1/6*(1/2x~2)*(t*ln(t)-t)
= 1/6*(1/2x~2)*(3x~2+5)*(ln(3x~2+5))-(3x~2+5)

Det er nærmere facit, men ikke 100% endnu :)

Facit: 1/6*(3x~2+5)*ln(3x~2+5)-1/2x~2+k

der er 2 spørgsmål:
- Hvorfor skal (1/2x~2) minusses og ikke gange?
- Der mangler et led i Sln(t) = t*ln(t)-t. Hvor er det sidste "-(3x~2+5)" henne?

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. februar 2006 af Deschain (Slettet)

Jeg har ikke kigget de andre indlæg igennem men mine beregninger ser sådan ud:

Sln(3x^2+5)xdx

t=3x^2+5
(1/6)dt=xdx

Sln(t)(1/6)dt =
(1/6)(tln(t)-t)+k =
(1/6)((3x^2+5)*ln(3x^2+5)-(3x^2+5))+k =
(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-(1/6)*(3x^2+5)+k =
(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-((1/2)x^2)-(5/6)+k

Da -5/6 er en konstant ligesom k danner de bare en ny konstant, altså
-5/6+k=c
Derfor bliver resultatet
(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-((1/2)x^2)+c

Dine to spørgsmål hænger sammen.
-(1/2x^2) er nemlig det sidste "-(3x^2+5)" da du skal gange med 1/6 og derudover også får -5/6

Svar #16
11. februar 2006 af Herter (Slettet)

takker..

det var vist det. Jeg vidste så ikke at man kunne lave en ny konstant på den måde :)

Jeg takker for alle svarene :)

Brugbart svar (0)

Svar #17
11. februar 2006 af Deschain (Slettet)

Altså jeg er 100% sikker på, man kan danne en ny konstant sådan, men det burde man da...

Brugbart svar (0)

Svar #18
11. februar 2006 af Deschain (Slettet)

Jeg har lige snakket med en klassekammerat og er nu meget i tvivl om konstanten. Jeg tror ikke, man kan gøre det på den måde, så jeg får facit til:
(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-((1/2)x^2)-(5/6)+k

Brugbart svar (0)

Svar #19
11. februar 2006 af Deschain (Slettet)

Hov i #17 skulle der stå
"Jeg er IKKE 100% sikker på..."
jaja det går lidt stærkt nogle gange;)

Brugbart svar (0)

Svar #20
12. februar 2006 af sigmund (Slettet)

#18:

Når du differentierer

(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-((1/2)x^2)-(5/6)+k,

så gør det ingen forskel om der står

(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-((1/2)x^2)-(5/6)+k

eller

(1/6)*(3x^2+5)*ln(3x^2+5)-((1/2)x^2)+k,

thi [k]' = 0.

Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.