Matematik
Sfæriske koordinater - noget bøvl!
14. marts 2006 af
Raaben (Slettet)
Først: jeg ved godt at der har været skrevet om denne opgave før, men jeg fatter hat at det, og prøv at se på min metode.
I det euklidiske rum kan vi udregne strækningen mellem to punkter vha formlen
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 eller
ds^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2 *
i sfæriske koordinater gælder
x=rsin(0)cos(ø)
y=rsin(O)sin(ø)
z=rcos(ø)
jeg opfinder to punkter
p1 =(rsin(O)cos(ø), rsin(O)sin(ø),rcos(ø))
og p2=(r+dr sin(O+dO)cos(ø+dø), r+dr sin(O+dO)sin(ø+dø), r+dr cos(ø+dø))
så anvender jeg afstandsformlen, den der er markeret med *, på denne
og siger
afstand p1p2 = (x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
altså
afstand p1p2 =(rsin(O)cos(ø)-r+dr sin(O+dO)cos(ø+dø)^2+(rsin(O)sin(ø)- (r+dr sin(O+dO)sin(ø+dø))^2+(rcos(ø)-r+dr cos(ø+dø))^2
denne grimme en giver noget endnu mere grimt.
facit skulle gerne blive
ds^2=dr^2+r^2[dO^2sin^2Odø^2)
hvil i ikke regne denne igennem for mig, og vise mig hvordan i kommer frem til et resultat, jeg får noget nyt hver gang
på forhånd tak.
I det euklidiske rum kan vi udregne strækningen mellem to punkter vha formlen
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 eller
ds^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2 *
i sfæriske koordinater gælder
x=rsin(0)cos(ø)
y=rsin(O)sin(ø)
z=rcos(ø)
jeg opfinder to punkter
p1 =(rsin(O)cos(ø), rsin(O)sin(ø),rcos(ø))
og p2=(r+dr sin(O+dO)cos(ø+dø), r+dr sin(O+dO)sin(ø+dø), r+dr cos(ø+dø))
så anvender jeg afstandsformlen, den der er markeret med *, på denne
og siger
afstand p1p2 = (x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
altså
afstand p1p2 =(rsin(O)cos(ø)-r+dr sin(O+dO)cos(ø+dø)^2+(rsin(O)sin(ø)- (r+dr sin(O+dO)sin(ø+dø))^2+(rcos(ø)-r+dr cos(ø+dø))^2
denne grimme en giver noget endnu mere grimt.
facit skulle gerne blive
ds^2=dr^2+r^2[dO^2sin^2Odø^2)
hvil i ikke regne denne igennem for mig, og vise mig hvordan i kommer frem til et resultat, jeg får noget nyt hver gang
på forhånd tak.
Svar #1
15. marts 2006 af podo (Slettet)
det er lige den opgave jeg har! Jeg kan ikke finde ud af den, men prøver lige din metode.
vi siger altså
ds²=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2=
ds²=(rsin(O)cos(ø)-r+dr sin(O+dO)cos(ø+dø)^2+(rsin(O)sin(ø)- (r+dr sin(O+dO)sin(ø+dø))^2+(rcos(ø)-r+dr cos(ø+dø))^2
= ?!? meget indviklet, ser ikke ud som r+dr[dO²sin²Odø²]
er der ikke nogle der vil fortælle hvad jeg/vi gør forkert, det haster lidt!
vi siger altså
ds²=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2=
ds²=(rsin(O)cos(ø)-r+dr sin(O+dO)cos(ø+dø)^2+(rsin(O)sin(ø)- (r+dr sin(O+dO)sin(ø+dø))^2+(rcos(ø)-r+dr cos(ø+dø))^2
= ?!? meget indviklet, ser ikke ud som r+dr[dO²sin²Odø²]
er der ikke nogle der vil fortælle hvad jeg/vi gør forkert, det haster lidt!
Svar #2
15. marts 2006 af fixer (Slettet)
Jeg forstår ikke hvorfor i bliver ved med disse dødfødte beregninger. Selvom indfører koordinattransformationerne er det jo stadig afstanden i det _Euklidiske_ rum i beregner. Det kan aldrig blive det differentielle bueelement i en ikke-Euklidisk geometri.
Brug nu at af koordinattransformationerne:
x = rsin(u)cos(v)
y = rsin(u)sin(v)
z = rcos(u)
hvor u er vinklen mellem en retningsvektor r(u,v) og z-aksen, og v vinklen mellem denns projektion på xy-planet og x-aksen, finder man de differentielle elementer på matrixform
|dx|
|dy| =
|dz|
| cos(u)sin(v) rcos(u)cos(v) -rsin(u)sin(v) | |dr|
| sin(u)sin(v) rcos(u)sin(v) rsin(u)cos(v) | |du|
| cos(u) -rsin(u) 0 | |dv|
Dan nu den differentielle vektor ds = dx{x}+dy{y}+dz{z}, hvor x,y,z er enhedsvektorer. Da er den differentielle længde givet ved ds*ds, hvor * er det sædvanlige skalarprodukt.
Indfør substituitionerne fra matrixligningen og resultatet foreligger umiddelbart.
Brug nu at af koordinattransformationerne:
x = rsin(u)cos(v)
y = rsin(u)sin(v)
z = rcos(u)
hvor u er vinklen mellem en retningsvektor r(u,v) og z-aksen, og v vinklen mellem denns projektion på xy-planet og x-aksen, finder man de differentielle elementer på matrixform
|dx|
|dy| =
|dz|
| cos(u)sin(v) rcos(u)cos(v) -rsin(u)sin(v) | |dr|
| sin(u)sin(v) rcos(u)sin(v) rsin(u)cos(v) | |du|
| cos(u) -rsin(u) 0 | |dv|
Dan nu den differentielle vektor ds = dx{x}+dy{y}+dz{z}, hvor x,y,z er enhedsvektorer. Da er den differentielle længde givet ved ds*ds, hvor * er det sædvanlige skalarprodukt.
Indfør substituitionerne fra matrixligningen og resultatet foreligger umiddelbart.
Skriv et svar til: Sfæriske koordinater - noget bøvl!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.