Kvadratisk form

Vi har den kvadratiske form

Q(x1,x2,x3,x4) = sum(i=1..4)[k_ii * (x_i)^2] + sum(i
Den tilhørende matrix A har elementerne

a_ii = k_ii, i = 1,2,3,4,
a_ij = a_ji = 1/2*k_ij, i

På grundlag af den kvadratiske form

Q(x1,x2,x3,x4) = x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + 4x1*x2 + 6x3*x4

kan vi opstille matricen A:

1 4 0 0
0 1 0 0
0 0 1 6
0 0 0 1

Egenværdierne er rødderne i det karakteristiske polynomium, som er determinanten (jeg har brugt k for egenværdi)

|1-k 4 0 0|
|0 1-k 0 0|
|0 0 1-k 6|
|0 0 0 1-k|

Her har du determinanten af en øvre trekantmatrix, der som bekendt er produktet af diagonalelementerne, dvs. (1-k)^4.

Matricen A har således egenværdi k = 1 med multiplicitet 4.

Rettelse til #1:

Matricen skal jo være symmetrisk:

1 4 0 0
4 1 0 0
0 0 1 6
0 0 6 1

Du skal således beregne determinanten

|1-k 4 0 0|
|4 1-k 0 0|
|0 0 1-k 6|
|0 0 6 1-k|

Matricen ovenfor kan reduceres til en trekantmatrix, hvis determinant er produktet af diagonalleddene.

Husk imidlertid, at der for determinanten gælder:

Hvis B fremkommer af A ved rækkeombytning, er det(B) = -det(A).
Hvis B fremkommer af A ved multiplikation af en række med et tal c, er det(B) = c*det(A).
Hvis B fremkommer af A ved en rækkeoperation, er det(B) = det(A).

En rettelse til #2:

"... diagonalleddene." --> "... diagonalelementerne."

#2

Skal matricen A ikke være:

1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 3
0 0 3 1

#4,

Jo, det skal den.

Tak for det.
Jeg får P(t)=det(A-tE)=
((1-t)^-1)((1-t)^2-4)((1-t)^2-9)) <=>
t=-1 v t=3 v t=-2 v t=4, for t=!1.
Har du evt tid til at undersøge om det er rigtigt?

#6,

Jo, det er rigtigt.

Nej, det er ikke rigtigt. Godt nok ender du ud med de korrekte egenværdier, men det karakteristiske polynomium er helt forkert.

Jeg er spændt på at se hvordan det er lykkedes dig at få en polynomiumsbrøk ud af reduktionsdeterminanten det(A-kE). Determinanten af en n x n - matrix er jo bestemt som en produktsum. Specielt er reduktionsdeterminanten et polynomium i k af max. n'te grad.

Linien:

"t=-1 v t=3 v t=-2 v t=4, for t=!1"

giver anledning til nogen bekymring. Hvis du kigger nærmere efter kan du forhåbentligt se det tankevækkende . Jeg kan godt se, at betingelsen udspringer af din polynomiumsbrøk, men forhåbentligt kan du se, at en sådan betingelse _aldrig_ kan opstå.

Jeg vil også minde om at biimplikationer kun anvendes mellem logisk ækvivalente udsagn (sande subjunktioner).

Såvidt kritikken.

Med hensyn til bestemmelsen af egenværdierne hørende til den kvardratiske form bestemt ved A (hvis korrekte form står i #4) er der to måder.

Den første er at bestemme dem direkte ved inspektion uden beregning. Det kan lade sig gøre da A har nuller i nederste venstre og øverste højre 2x2-undermatrice. Kan du se hvordan? [hint: determinanten er nul når 2 rækker (søjler) er proportionale.]

Den anden er ved slavisk beregning. Reduktionsdeterminanten R(k):

|1-k 2 0 0 |
|2 1-k 0 0 |
|0 0 1-k 3 |
|0 0 3 1-k |

bestemmes fx. ved oplsøning efter første række som

R(k) = (1-k)M - 2N

hvor matricerne M og N er hhv

| 1-k 0 0 |
| 0 1-k 3 | = M
| 0 3 1-k |

| 2 0 0 |
| 0 1-k 3 | = N
| 0 3 1-k |

som begge opløses efter første søjle (eller række). Derved fås

R(k) = ((1-k)²-2²)K = (k+1)(k-3)K (*)

hvor K er underdeterminanten

| 1-k 3 |
| 3 1-k |

=

(1-k)²-3² = (1-k-3)(1-k+3) = (k+2)(k-4)

som indsat i (*) resulterer i det endelige udtryk for det karakteristsike polynomium

R(k) = (k+1)(k-3)(k+2)(k-4)

Egenværdierne bestemmes som løsningerne til ligningen R(k)=0. Udregnes de dertil hørende egenvektorer haves koordinaterne for en ny basis. Indføres den hertil hørende ortogonale substitution føres den kvadratiske form i #0 over i en form uden produktled hvori koefficienterne til de kvadratiske led netop er egenværdierne.

#8
matrice -> matrix

Okay, tak for det. Ja kan godt se at det måske er en problematisk betingelse at t=!1 :) Men den opstod da jeg lavede rækkeoperationer på matricen for at lave den om til en øvre trekantsmatrix (har også fundet fejlen faktisk og fået dit udtryk). Så på en eller anden måde er betingelsen vel nødvendig? Hvis jeg ganger en rækker med 1/(t-1), må jeg vel antage t=!1, for så at undersøge om der findes et egetrum for t=1 bagefter, ikke? Tak for hjælpen i øvrigt! Sætter stor pris på det!

Betingelsen er nødvendig når du udfører operationen, men når du har løst ligningen R(k)=0 og fundet alle 4 løsninger, og ingen af dem er k=1, så ved du at betingelsen ikke var relevant for dine regninger.