Skæringspunkt ml. cirkel og linje

Se:
https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=95564&h=cirkel%20og%20linje

Du har sådan set selv forklaret det, men lad mig give et eksempel.

Cirkel: (x-3)^2+(y+1)^2=16
Linie: y=2x-3

Indsæt 2x+3 istedet for y i cirklens ligning:
(x-3)^2+(2x-2)^2 = 16

Gange parenteserne ud:
x^2-6x+9 + 4x^2-8x+4 = 16

Saml led med samme potens:
5x^2-14-3=0

Løs andengradsligningen:
d=14^2-4*5-3=256
sqrt(d)=16
x=(14+16)/10 v x=(14-16)/10
x=3 v x=-1/5

Udregn tilhørende y-værdier
y=2x-2 =3 v y=-17/5

Opskriv løsningen:
(x,y)=(3;3) v (x,y)=(-1/5 ; -17/5)

Mængden af punkter, som ligger på cirkelperiferien opfylder eller "tilfredsstiller" cirkelligningen.

Mængden af punkter, som ligger på den rette linje opfylder eller "tilfredsstiller" linjens lgining.

Skæringspunkter ligger både på cirklen og på den rette linje, hvorfor de -som de eneste - opfylder begge udtryk eller ligninger.

Det er egentlig ikke helt rigtigt at sige, at punkterne opfylder ligningerne. En præcis uudtryksform er, at punkternes koordinater opfylder ligningerne.

Skæringspunkterne har såvel samme x-koordinat som y-koordinat.

Hvorfor er det så "altid" y, man indsætter i cirkelligningen?

Det skyldes ganske enkelt, at der er tradition for at udtrykke y ved x - y=ax+b - og det derfor er nemmest at tænke: i skæringspunkter er y-værdien den samme på. Hvorfor sætter man sy ikke y-udtrykket fra cirklen ind i ligningen for linjen?

Hvis du betænker, at cirklens ligning for cirklen er:
(x-c1)^2+(y-c2)^2=r^2, så vil du kunne indse, at kræver en del arbejde at isolere y fra dette udtryk - som i sig selv bliver lidt kompliceret. Det samme gælder, hvis x skulle isoleres fra denne ligning for derefter at blive indsat i ligningen for linjen.

Man slipper derfor meget lettere fra beregningerne, - citat fra #0 "ved at indsætte linjen som y-værdi og derved få den omskrevet til en andengradsligning,".

Mange tak for hjælpen:)