Matematik

nogle der er gode til noget matematik

02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

hej jeg har fået stillet en eksamenopgave der lyder;
- Vis herunder at mængden af periodiske decimalbrøker er lig mængden af rationale tal.

jeg ved simpelthen ikke hva jeg skal gøre.. kan i ikk hjælpe mig.. plz :S

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Vis at

A) ethvert rationelt tal (brøk) kan skrives som en periodisk decimalbrøk OG
B) enhver periodisk decimalbrøk kan skrives som en rationelt tal (brøk).

Du har nok allerede set begge dele, da det ellers vil være en noget svær opgave selv at skulle igennem.

Svar #2
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

er der ikke nogen der kan give et eksempel.. er virkelig lost :S

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

#2,

Hvilken bog er du blevet undervist efter?

Hvis det er Mat1 af Carstensen og Frandsen skal du kigge på side 32-36.

Forstod du noget af det, jeg skrev i #1?

Det er sjovere at hjælpe dig, hvis du selv skriver, hvad du allerede har gjort. Så får det karakter af hjælp til selvhjælp fremfor blot at give dig svaret.

Svar #4
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

nææ.. den hedder Trips.. okay.. jeg prøver.. lii. to min.. så kommer jeg lii med et eks.. hehe :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

#4,

Hmm, hvis det er den nye Trips fra 2005 af Hans Sloth, kan jeg ikke finde noget om decimalbrøker deri. I så fald kan jeg godt se dit problem (hvis du da ikke har en note om emnet).

Svar #6
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

.. arj jeg har virkelig prøvet.. jeg forstår det ikke.. kan du evt. guide mig igennem noget af det??

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Jeg kan da prøve.

Lad os vise B) fra #1 først.

Lad os tage 0,14747474747...

Sæt x= 0,14747...

Da længden af perioden er 2, ganger vi nu med 10^2. (hvis længden er n, ganger vi med 10^n)

100x = 14,74747...

Træk nu de to ligninger fra hinaden:

100x-x = 14,74747... - 0,14747...
<=>
99x = 14,6
<=>
990x = 146
<=>
x = 146/990
(hvilket så kan forkortes, hvis man vil)

Samme system kan (tydeligvis) bruges på enhver periodisk decimalbrøk, hvorfor enhver periodisk decimalbrøk kan skrives som en brøk.

Prøv selv at omskrive
0,13527527527... til en almindelig brøk, så du er sikker på at have fanget systemet.

Svar #8
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

okay..
x= 0,13527527527

kan allerede sii at det gir forkert svar..
mmeeen du kan lii se

x= 0,13527527527
perioden er på 3 decimaler så vi ganger med 10^3
1000x=135,27527527

1000x-x= 999x
135,27527527-0,13527527=134,14
999*100=13414
99900=13414
13414/99900=0,13427427.. det skal jo give 0,13527527

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. juni 2006 af allan_sim

#8.
135,27527527-0,13527527=135,14

Svar #10
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

#9... hmm du skal jo gange med 100 på begge sider af lighedstegnet.. fordi du kan jo ikke skrive 135,14/990... det er jo ikk et rational tal så

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. juni 2006 af allan_sim

#10.
Jeg rettede blot, at du havde skrevet, at

135,27527527-0,13527527=134,14

Det er lig 135,14. Derefter kører det, som du har gjort.

Svar #12
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

ihj tak.. hehe.. det var det der var gået galt. heeh.. takker.. hmm men er der nogle der ved hvorn man så beviser a??
A) ethvert rationelt tal (brøk) kan skrives som en periodisk decimalbrøk OG

skal man så bare ikk køre den anden vej. altså vi har jo løst b =

0,13527527= 13514/99900..

så skal vi også bevise a jo.. hvorn skal jeg helt præcist bevise det???

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Ok, godt arbejde med hensyn til den omskrivning. Lad os se på A) nu.

Lad os tage et eksempel:

5/7

Det giver først 0 med en rest på 5.
Så har vi 50/7, hvilket givet 7 med rest 1
Så har du 10/7, hvilket giver 1 rest 3
Så 30/7 = 4 rest 2
Så 20/7 = 2 rest 6
Så 60/7 = 8 rest 4
Så 40/7 = 5 rest 5

Bemærk, nu har vi samme rest som i første skridt, nemlig 5, så herfra gentager systemet sig blot.

Dvs, 5/7 = 0,714285 714285 ...

Når vi dividerer med 7, kan der højst være 7 forskellige rester (0, 1, 2, ..., 6), så der kan højst blive 7 decimaler i den periodiske brøk.

Da samme system kan bruges på enhver brøk, er A bevidst.

Prøv selv med 10/17 for at være sikker på, at du har forstået systemet. Der bliver ret mange decimaler, så nu er du advaret :)

Brugbart svar (0)

Svar #14
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Når du laver divisionen 10/17, så holdt godt øje med, hvilken rest du får i hvert enkelt skridt. Når du (endeligt) får den samme rest, så overvej endnu en gang, hvorfor det betyder, at du er færdig.

Svar #15
02. juni 2006 af Mahinth (Slettet)

Puuuuuhhha.. det var sku hårdt.. heeh.. kan lii skrive det op

10/17 = 0 R 10
100/17 = 5 R 15
150/17 = 8 R 14
140/17 = 8 R 4
40/17 = 2 R 6
60/17
90/17 = 5 R 5
50/17 = 2 R 16
160/17 = 9R 7
70/17 = 1 R 3
20/17 = 1 R 13
130/17 = 7 R 11
110/17 = 6 R 8
80/17=4 R 12
120/17 = 7 R 1
10/17 = 0 R 1

SVARET ER SÅ : 0,5882352941176470....

jeg takker virkelig for din tid og super duper hjælp.. ;) hvis der er nogle sidste fakts jeg lii ska vide, vil jeg gerne vide det.. ;)

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

Velbekom.

Du ser ud til at have helt styr over det nu :)

Skriv et svar til: nogle der er gode til noget matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.