Matematik

Rødder igen!

10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Hej.

Jeg laver i øjeblikket dispositioner til de forskellige emner, vi kan blive udsat for til mandagens årsprøve i mdt. matematik. Et af vores emner hedder "Rødder og toppunkter" i et andengradspolynomium.

Jeg synes, det er lettere kompliceret, så jeg vil i det følgende forsøge at forklare løsningen af et andengradspolynomium med udgangspunkt i rødderne. Der er dog et sted, hvor jeg er meget i tvivl om mine noter, så jeg håber, der er en eller flere der vil give en hjælpende hånd - selvom der efterhånden er mange tråde herom.

Sætning: ax^2+bx+c = a(x-r1)(x-r2) , såfremt ax^2+bx+c har rødderne r1 og r2.

Ved rødder forstås imidlertid de værdier af x, som har funktionsværdien 0 - således kan rødderne også defineres som punkter, der ligger på x-aksen.

Lad os imidlertid gange parenteserne med hinanden i a(x-r1)(x-r2):

a(x-r1)(x-r2) <=> a(x^2-r2x-r1x+r1r2)

Vi ved fra løsningen af andengradsligninger, at f(x) har rødderne:

r1 = -b-sqrt(d)/2a og r2 = -b+sqrt(d)/2a

Lad os multiplicere rødderne:

-b-sqrt(d)/2a * -b+sqrt(d)/2a

= (-b-sqrt(d))(-b+sqrt(d))/(2a)^2

= b^2-d/4a^2

Vi sætter nu, at d = b^2-4ac:

= b^2-(b^2-4ac)/4a^2

= 4ac/4a^2

= c/a

NU OPSTÅR ET PUNKT, HVOR JEG ER I TVIVL OM MINE NOTATER. MIN MATEMATIKLÆRER HAR VALGT AT SUBTRAHERE R1 MED R2 FREM FOR AT ADDERE, SOM BOGEN GØR. ER DER NOGEN, DER KAN TYDE, HVAD DER SKER HER?

-(-b-sqrt(d))/2a - (-b+sqrt(d))/2a

(jeg er virkelig i tvivl om ovenstående)

= b+sqrt(d)/2a - (-b+sqrt(d))/2a

= b+sqrt(d)+b-sqrt(d)/2a

= 2b/2a

= b/a

Lad os indsætte de to værdier, vi er kommet frem til:

a(x^2-r2x-r1x+r1r2) => a(x^2+(b/a)x+(c/a))

<=> ax^2+bx+c

q.e.d

Jeg har nogle spørgsmål:

1) Jeg har angivet et punkt i subtraktionen af rødderne. Jeg håber, der er nogen, der vil hjælpe.

2) Jeg forstår, hvorfor man multiplicerer røddern (det er klart, eftersom de bliver multipliceret i a(x^2-r2x-r1x+r1r2), men jeg forstår simpelthen ikke, hvorfor man subtraherer?

På forhånd TAK!

Amigo

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. juni 2006 af ibibib (Slettet)

1) og 2)
Det er fordi der står -r2x-r1x = (-r2-r1)x.

Svar #2
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Hmm, vil du ikke forklare lidt mere uddybende? Er mine udregninger korrekte da?

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. juni 2006 af ibibib (Slettet)

Ja, beregningerne er korrekte. Men det bliver mere overskueligt hvis du indsætter en mellemregning:

a(x^2-r2x-r1x+r1r2) =

a(x^2+(-r2-r1)x+r1r2) =

a(x^2+(b/a)x+(c/a)) = osv.

ps Husk at benytte tegnene = og <=> korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. juni 2006 af pistacienød (Slettet)

Off-topic:
#0, har I også fået spørgsmålene på forhånd?

Svar #5
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

#4: Ja og nej. Vi har fået de overordnede emner, som vi kan komme op i. Så ja, vi er bekendte med samtlige overordnede spørgsmål, men herunder er der formentlig en række underordnede spørgsmål, som man skal besvare til selve prøven og således forberede svaret under forberedelsen.

#3:

a(x^2-r2x-r1x+r1r2) =

a(x^2+(-r2-r1)x+r1r2)

Hvad gør du helt præcist?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. juni 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#5:
Han faktoriserer bare de to led -r_1*x og -r_2*x.

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. juni 2006 af pistacienød (Slettet)

#5 Ok, vi har nemlig fået alle de konkrete spørgsmål, vi kan trække (15 spørgsmål), så jeg tænkte at I også havde.
Jeg kunne godt tænke mig at se, hvad andre elever har lavet, eller hvordan deres spørgsmål ser ud, men jeg fortsætter bare med at udspørge andre her på studieportalen :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. juni 2006 af mathon

…inden du løber vild i dine optegnelser:
ax^2+bx+c=a[x^2+b/ax+c/a]=a(x-r1)(x-r2)

lad os regne på a(x-r1)(x-r2)
a(x-r1)(x-r2)=a[x^2-(r1+r2)x+r1*r2]
altså
a[x^2-(r1+r2)x+r1r2]= a[x^2+b/ax+c/a],
hvoraf
r1+r2=-b/a
og
r1*r2=c/a,

hvilket betyder:
i en reduceret, ordnet, og normeret 2.gradsligning
er
1): røddernes sum lig med koefficienten til x med MODSAT fortegn
og
2): røddernes produkt lig med ligningens sidste led.

Svar #9
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Jeg ved godt, det måske lyder dumt, men jeg synes, den måde, der faktoriseres på, er lidt forvirrende - kan det ikke gøres således (faktum er jo blot, at man sætter uden for en parentes):

a(x^2-r2x-r1x+r1r2) =

a(a^2-x(-r2-r1)+r1r2)

På den måde slippr man også for at skulle skifte fortegn etc.`

Men er det korrekt?

Svar #10
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

#8: Jeg synes, den måde, hvorpå jeg kommer frem til rødderne i den generelle andengradsligning, er en smule lettere at gennemskue :)

Men tak alligevel. Det er dybt fascinerende, hvorledes andengradspolynomier kan løses på flere forskellige måder.

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. juni 2006 af mathon

Det er vel nemmere at skrive rødderne som r1 og r2, frem for at skrive –b/(2a)…..osv.

Svar #12
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

#11: Rødderne er jo r1 og r2. Det, jeg gør, er at bevise grundigt. Det er det, vi bliver udsat for til prøven, og det er det, vi er blevet undervist i :)

Svar #13
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Hm, se lige denne:

-(-b-sqrt(d))/2a - (-b+sqrt(d))/2a

= b+sqrt(d)/2a - (-b+sqrt(d))/2a

= b+sqrt(d)+b-sqrt(d)/2a

Hvordan kan det ende med, at der i sidste udregning står plus b og minus kvadratroden af d, nå¨r der oprindeligt står det omvendte?

Svar #14
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

Please? :)

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. juni 2006 af mathon

-(-b-sqrt(d))/(2a) - (-b+sqrt(d))/(2a) = -(-b-sqrt(d))/(2a) +(- (-b+sqrt(d))/(2a))

betænk: -(-a-b)=a+b (man hæver en minusparentes, ved at skifte for- og regnetegn for ledene i parentesen)

therefore
it goes:

-(-b-sqrt(d))/(2a) +(- (-b+sqrt(d))/(2a))

(b+sqrt(d))/(2a) +(b-sqrt(d))/(2a)=
2*(b/(2a))=b/a

Svar #16
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

#15:

Tak. Jeg skal dog lige have noget på plads:

-(-b-sqrt(d))/(2a) - (-b+sqrt(d))/(2a) = -(-b-sqrt(d))/(2a) +(- (-b+sqrt(d))/(2a))

Det går sådan set fra at være et minusstykke til et plusstykke, fordi hele den sidste brøks fortegn skiftes. Hvorledes kan det skiftes?

Brugbart svar (0)

Svar #17
10. juni 2006 af mathon

du ved:

a-b = a+(-b), hvor a,b E R+

taleksempel.
10-8=10+(-8)=-8+10=2,
da
addition er kommutativt
dvs.
c+d=d+c

Svar #18
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

#17:

Hvad er det nu, den hjemmeside hedder, hvor man kan uploade dokumenter? Jeg har smidt det ind i et dokument, som jeg forstår det.

Amigo

Brugbart svar (0)

Svar #19
10. juni 2006 af Sansnom (Slettet)

#18,

PeeCee.dk er en mulighed, men der er sikkert mange andre.

Svar #20
10. juni 2006 af Amigo (Slettet)

http://peecee.dk/?id=42998

mathon, vil du tage et kig?

Forrige 1 2 Næste

Der er 26 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.