Matematik
Egenskaber ved omvendte funktioner:
10. juni 2006 af
Waterhouse (Slettet)
Jeg er ifm. årsprøveterperi stødt på en sætning i min bog, som bliver anført uden bevis:
Hvis en funktion er voksende og har en omvendt funktion, er denne omvendte funktion også voksende.
Jeg kan godt se det er ret indlysende hvis man giver sig i kast med at tegne grafer e.l., men kan man give et lidt mere stringent bevis for påstanden?
Hvis en funktion er voksende og har en omvendt funktion, er denne omvendte funktion også voksende.
Jeg kan godt se det er ret indlysende hvis man giver sig i kast med at tegne grafer e.l., men kan man give et lidt mere stringent bevis for påstanden?
Svar #1
10. juni 2006 af LanioX (Slettet)
Da f er voksende og har en invers funktion, får vi at f må være strengt voksende (hvis x>y og f(x)=f(y) har den ikke en invers funktion, modstrid).
Vi har derfor at x>y => f(x)>f(y)
Hvis f(x)>f(y) så kan x=y ikke gælde (da f er en funktion) og x
Derfor må f(x)>f(y) => x>y
Lad nu g betegne inversfunktionen til f og lad a=f(x) og b=f(y) ligge i værdimængden for f, så a>b.
Da f(x)=a>b=f(y) => x>y og da x=g(a) og y=g(b) ses at a>b => g(a)>g(b) så g er (strengt) voksende, som skulle vises.
g(a)
Vi har derfor at x>y => f(x)>f(y)
Hvis f(x)>f(y) så kan x=y ikke gælde (da f er en funktion) og x
Derfor må f(x)>f(y) => x>y
Lad nu g betegne inversfunktionen til f og lad a=f(x) og b=f(y) ligge i værdimængden for f, så a>b.
Da f(x)=a>b=f(y) => x>y og da x=g(a) og y=g(b) ses at a>b => g(a)>g(b) så g er (strengt) voksende, som skulle vises.
g(a)
Skriv et svar til: Egenskaber ved omvendte funktioner:
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.