Matematik

Integral ved substitution opg.

20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

Goddag jeg har en matematik opgave, og vi har indtil videre gået igennem hvordan man regner integralers areal, integralers rumfang , og hvordan man regner integraler ved substitution.

jeg tror, og fortæl endeligt hvis jeg tager fejl, at følgende opgave skal regnes ved hjælp af integration ved substitution

3
S 3x+6 / x^2+4x+5 dx
0

Jeg er meget i tvivl om hvordan man regner integraler ved hjælp af substitution så alle trinene i synes er elementære er i velkomne til og fortælle mig.

Jeg prøver og få det til og passe på formen

f(g(x)) * g'(x)

og det kan jo gøres ved og sige at f= 1/(g(x))

hvor g(x) = x^2+4x+5

men så vil mit stykke blive

1/ x^2+4+5 * 3x+6

og (x^2+4+5)' er ikke lige 3x+6, ergo skal jeg gøre noget jeg ved blot ikke hvad

Svar #1
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

#0
Rettelse jeg kommer til og lave en fejl fra

Men så vil mit stykke blive

Der skulle have stået

men så vil mit stykke blive

1/ x^2+4x+5 * 3x+6

og (x^2+4x+5)' er ikke lige 3x+6, ergo skal jeg gøre noget jeg ved blot ikke hvad

Svar #2
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

Aha jeg tror jeg ved hvad det er jeg mangler

Jeg skal bruge konstanten 1/3 og ganger med dens reciprokke altså 3 uden for integral tegnet

dvs. jeg ender med og få integralet
3
3* S 1/ x^2+4x+5 * 3x+6*1/3
0
amirite ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2006 af sigmund (Slettet)

Du skal bruge integration ved sustitution.

Først sættes t = x²+4x+5. Dette differentieres, og vi får dt/dx = 2x+4 <=> dx = 1/(2x+4)dt.
I integranden omskrives 3x+6 til 3/2(2x+4), og dx indsættes i integalet (desuden ændres grænserne ved at sætte ind i substitutionen):

3²+4*3+5
S 3/2(2x+4)/t * 1/(2x+4) dt =
0²+4*0+5

26
S 3/2 * 1/t dt.
5

Resten klarer du nok selv.

Svar #4
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

hm tror nærmere det er 2/3 jeg skal gange ind med egentlig

det jeg mente var at det er 1/3 jeg skal af med for at vi får * g'(x)

Svar #5
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

hm ja kan godt se at din udregning er rigtigt sigmund

skal have læst ordentligt igennem med Integration ved substitution for jeg kludrer med det

Svar #6
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

Har regnet på det og det endelige integral bliver

3
3/2 * S 1 / x^2+4x+5 * (2x+4)
0

Svar #7
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

#6

Jeg mente er mit indlæg i #6 korrekt ?

Svar #8
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

Håber der nogle der gider og fortælle mig om det endelige integral virkeligt er

3
3/2 * S 1 / x^2+4x+5 * (2x+4)
0

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. september 2006 af mathon

løsningen er i #3:

du mangler blot lidt rutine, så vi ta'r den lidt i punktform:

1)
Først sættes t = x^2+4x+5

2)
dt/dx=2x+4 eller dt=(2x+4)*dx.

Nu havde det været skønt, hvis integrantens tæller havde været
2x+4. Det er den ikke - den er 3x+6 - men en lille omskrivning kan skaffe os det.
3x+6 = (3/2)*(2x+4) (hvis du ganger ind i parentesen kan du se, lighedstegnet gælder). Omskrivningen er NØDVENDIG for at komme videre!, så derfor bliver
punkt

3)
tællerens 3x+6 omskrives til (3/2)*(2x+4)

4) substituer x-grænser til t-grænser.

Vi har værktøjet og nu skal det bruges:

S 3x+6 / x^2+4x+5 dx

nævneren substitueres i følge 1)

S (3x+6)/t dx
eller

S 1/t*(3x+6)dx
eller

ifølge 3)
S 1/t*(3x+6)dx=
S 1/t*(3/2)*(2x+4)dx=

3/2 * S 1/t*(2x+4)dx, hvor konstanten er sat udenfor integraltegnet.
eller
ifølge
2)
3/2 * S 1/t*(2x+4)dx =3/2 * S 1/t*dt

vi har altså omskrevet det ubestemte integral
S 3x+6 / x^2+4x+5 dx til 3/2*S 1/t*dt.

Nu kan vi beregne det bestemte integral:

x_grænserne 0 og 3 substitueres til

t=x^2+4x+5
eller
t_ned=0^2+4*0+5=5

t_op=3^2+4*3+5=26,
hvoraf

3
S (3x+6)/(x^2+4x+5)dx=
0

26
3/2*S1/t*dt
5
som du selv beregner.........

Svar #10
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

#9 mange tak fordi du gad og gå det igennem så grundigt

Kunne følge dine udregninger klart hele vejen igennem.

jeg var sikker på man skulle bruge regelen med hensyn til Integration ved substitution der siger, at man kan gange med en konstant så længe man også ganger med konstantens reciprokke tal

Denne regel bruger vi dog ikke gør vi ? det var det jeg troede vi skulle og derfor jeg troede udregningen ville lyde

3
3* S 1/ x^2+4x+5 * 3x+6*2/3*3/2(det reciprokke af konstanten vi ganger ind med)

kan godt være jeg roder rundt i noget her.

min point er at du siger

3x+6 = (3/2)*(2x+4), det er blot en omskrivning og den kan jeg fuldt følge

og den leder os jo reelt også frem til det samme osm konstant reglen gør nu hvor jeg ser efter.

du har blot hoppet konstant regel leddet over og sagt det som det er, nemlig at

3x+6 = 3/2*2x+4

Nå men nu tror jeg at jeg har styr på denne opgave takket være din grundige gennemgang, mange gange tak Mathon
0

Svar #11
20. september 2006 af Merit-HB (Slettet)

#10

i linjen hvor jeg første gang skriver et integral er formaten røget helt ad helvedes til, prøver og skrive det lidt mere tydeligt (dropper grænserne da vi kender dem)

3* S 1/ x^2+4x+5 * ((3x+6)*2/3) * 3/2(det reciprokke tal)

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. september 2006 af mathon

(3/2)*(2/3)*(3x+6)=(3/2)*(2x+4),

så
din til vished grænsende formodning:

"jeg var sikker på man skulle bruge regelen med hensyn til Integration ved substitution der siger, at man kan gange med en konstant så længe man også ganger med konstantens reciprokke tal",

var god nok!

Skriv et svar til: Integral ved substitution opg.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.