Fysik

Kan det regnes (ikke-konstant acceleration)?

25. november 2006 af Peter_F (Slettet)

Hej...
Jeg har en situation som jeg ikke kan få regnet.
Min situation:
Jeg kender en starthastighed og en sluthastighed (hastigheden aftager som tiden går). Accelerationen afhænger af hastigheden, så partiklen bliver bremset mindre og mindre ned.
Jeg kan godt plotte accelerationen som funktion af hastigheden i det givne interval, men jeg ved ikke helt om jeg kan bruge det til noget.
Jeg skal finde ud af hvor langt partiklen når fra positionen ved starthastigheden til positionen ved sluthastigheden.

Skal det regnes via et computerprogram (numerisk løsning)?
Eller skal jeg finde en gennemsnitsacceleration og regne bevægelsen med konstant acceleration?

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2006 af Sentinox (Slettet)

Så vidt jeg kan forstå, har du altså givet en acceleration som funktion af tiden, lad os kalde den
a(t), endvidere har du givet nogle randbetingelser, f.eks. at til t=0 er hastigheden v(0) = v0, samt at hastigheden til tilden t=t_slut = v_slut.

Som du ved er a(t) = dv(t)/dt (altså accelerationen er den første aflede af hastigheden med hensyn til tiden.
Endvidere gælder relationen a(t) = dx^2(t)/dt^2
Det vil sige at accelerationen er den 2. afledede af stedet med hensyn til tiden.

Altså kan du (ud fra dine randbetingelse) løse den anden ordens differentialligning du har givet!

a(t) = dx^2(t)/dt^2

//Sentinox

Svar #2
25. november 2006 af Peter_F (Slettet)

Hmm... Har tænkt lidt i de baner.
Lad min uddybe.
v_start og v_slut er kendte.

Accelerationen er givet ved:

a_x=(K*v^2)/m,

hvor K og m er kendte.

Det er mine oplysninger. Hvordan finder jeg så ud af hvor langt partiklen er kommet fra x_start til x_slut?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. november 2006 af mathon

a = (K*v^2)/m

a = (K/m)*v^2

dv/dt = (K/m)*v^2

1/v^2*(dv/dt) = (K/m)... integrer med hensyn til t

S [1/v^2*(dv/dt)]*dt = S (K/m)dt

S 1/v^2*(dv) = S (K/m)dt

-S -1/v^2*(dv) = S (K/m)dt

1/v = (K/m)*t+C/m ...C/m er en integrationskonstant

1/v = (Kt+C)/m

v = 1/((Kt+C)/m) = m/(Kt+C)

ds/dt = m/(Kt+C)... integrer med hensyn til t

S (ds/dt)*dt = m*S 1/(Kt+C)dt

S (ds) = m/K*S 1/(Kt+C)*K*dt

s = (m/K)*S 1/(Kt+C)*d(Kt+C)

s = (m/K)*ln(Kt+C)+so, hvor so er en integrationskonstant

s-so = (m/K)*ln(Kt+C), da Kt+C>0, når K,C,t € R+

delta_s = (m/K)*ln(Kt+C)

Svar #4
25. november 2006 af Peter_F (Slettet)

Det ser spændende ud, men hvordan finder jeg ud af hvilken værdi af t jeg skal bruge?

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. november 2006 af mathon

brug

v = m/(Kt+C), hvoraf

Kt+C=m/v

Kt=[m/v-C]

t=[m/v-C]/K

Svar #6
26. november 2006 af Peter_F (Slettet)

Smart...

Men jeg kan ikke se hvor du får integrationskonstanten fra her:
1/v = (K/m)*t+C/m ...C/m er en integrationskonstant.

Det er sidste linje i første del. Bliver konstanten ikke bare C?

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. november 2006 af mathon

...enten den hedder k eller C/m er uden betydning - eneste krav er, at det skal være en KONSTANT og intet om hvilken kaliber.

I det konkrete tilfælde var det praktisk for den videre omskrivning at vælge C/m, hvorfor det blev gjort.

Men jeg er godt klar over, at du oftest - eller måske kun - har set den som k eller C.

Skriv et svar til: Kan det regnes (ikke-konstant acceleration)?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.