Matematik
Sum af potensrække: generel formel?
10. december 2006 af
??? (Slettet)
hej!
Jeg mangler at finde en general formel for summen af følgende potensrække.
1^k+2^k+3^k+4^k+...+n^k
Jeg er i gang med en større regneopgave, og kan ikke rigtig finde ud af denne her.
Håber der er en venlig sjæl der kan hjælpe med denne opgave, evt. også hvordan formlen udledes.
Jeg mangler at finde en general formel for summen af følgende potensrække.
1^k+2^k+3^k+4^k+...+n^k
Jeg er i gang med en større regneopgave, og kan ikke rigtig finde ud af denne her.
Håber der er en venlig sjæl der kan hjælpe med denne opgave, evt. også hvordan formlen udledes.
Svar #1
11. december 2006 af fixer (Slettet)
Summen af rækken
sum[m=1->n]m^k = 1^k + 2^k + ... + n^k
er et polynomie af (k+1)'te grad i n hvis koefficienter er bestemt af Bernouillital. Sumformlen, som lystrer navnet Faulhabers formel, siger at ovennævnte sum er lig
1/(k+1)*sum[j=0->k]B(k+1,j)*B_j*n^(k+1-j) (*)
hvor B(k+1,j) er binomialkoefficienten
(k+1)
( j )
= (k+1)!/(j!(k+1-j)!)
og B_j er det j'te Bernoulli-tal.
Bernoullitallene opfylder og bestemmes af rekursionen
sum[j=0->n]B(n+1,j)B_j = 0, n > 0, B_0 = 1 (**)
Når samtlige de nødvendige Bernoullital er bestemt af (**) skal man skifte fortegn på værdien B_1 fra -½ til +½. Så bliver formel (*) gyldig [det er en teknisk detalje der skyldes at man normalt opsrkiver Faulhabers formel for en sum optil n-1 istedet for n].
Prøv også at se på mathworld som har en lidt anden tilgang end jeg:
http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html
sum[m=1->n]m^k = 1^k + 2^k + ... + n^k
er et polynomie af (k+1)'te grad i n hvis koefficienter er bestemt af Bernouillital. Sumformlen, som lystrer navnet Faulhabers formel, siger at ovennævnte sum er lig
1/(k+1)*sum[j=0->k]B(k+1,j)*B_j*n^(k+1-j) (*)
hvor B(k+1,j) er binomialkoefficienten
(k+1)
( j )
= (k+1)!/(j!(k+1-j)!)
og B_j er det j'te Bernoulli-tal.
Bernoullitallene opfylder og bestemmes af rekursionen
sum[j=0->n]B(n+1,j)B_j = 0, n > 0, B_0 = 1 (**)
Når samtlige de nødvendige Bernoullital er bestemt af (**) skal man skifte fortegn på værdien B_1 fra -½ til +½. Så bliver formel (*) gyldig [det er en teknisk detalje der skyldes at man normalt opsrkiver Faulhabers formel for en sum optil n-1 istedet for n].
Prøv også at se på mathworld som har en lidt anden tilgang end jeg:
http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html
Skriv et svar til: Sum af potensrække: generel formel?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.