Matematik
(x^x)', 2. del
15. december 2006 af
hiat (Slettet)
Jeg beklager, at jeg bliver nødt til at oprette en nye tråd, men jeg tror den anden gik i glemmenbogen.
I https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=289587 svarede mathon på, hvordan man kan differentierer x^x, og jeg forstår godt udregningerne, men det, der undrer mig, er hvordan man ved, at man skal omskrive x^x til e^(ln(x)*x).
På forhånd tak.
I https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=289587 svarede mathon på, hvordan man kan differentierer x^x, og jeg forstår godt udregningerne, men det, der undrer mig, er hvordan man ved, at man skal omskrive x^x til e^(ln(x)*x).
På forhånd tak.
Svar #1
15. december 2006 af mathon
1)
x^n, hvor n er KONSTANT og reel og x>0 for n ikke-hel og x € R for n hel,
kan -
som dig bekendt - differentieres efter
(x^n)' = n*x^(n-1),
og er udledt på samme måde, som anvendt i mit [Link],
(x^n)'=(e^(n*ln(x))' = e^(n*ln(x)*(n*ln(x))' = (x^n)*(n*1/x) = n*x^(n-1)
her er (n*ln(x))' let at beregne, fordi n er konstant.
2)
for (x^x)' = (e^(x*ln(x))' = e^(x*ln(x)*(x*ln(x))' =
(x^x)*(x*1/x+1*ln(x)) = (x^x)*(1+ln(x)).
og her er (x*ln(x))' lidt mere omfattende at differentiere, eftersom prokuktreglen skal anvendes, da både x og ln(x) er variable.
Beviset føres imidlertid på SAMME måde i 1) og 2), så der er ikke - som jeg fornemmer, du synes - tale om nogen som helst AFGØRENDE forskel - blot den, at 1) kan huskeregel-formaliseres
til
(x^n)' = n*x^(n-1), når n er konstant.
"...hvordan man så ved, at man skal omskrive x^x til e^(ln(x)*x)?" - når potenseksponenten er en variabel:
Det ligger vel grundlæggende i forståelsen af potensbegrebet:
x^n defineres som e^(n*ln(x)), x,n € R og x>0 og e^0=1
(hvilket har det begrebsmæssigt praktiske ved sig, at funktionen e^x kan danne grundlag i fortsat bevisførelse)
hvis n € Z
kan potensbegrebet udvides til
x^n = x*x*x........*x med n faktorer, x € R
som alment kendt fra Folkeskolens potensstof.
Måske ligger hunden begravet her.
Du ser måske potensbegrebet med folkeskolebriller, hvor n altid er hel og forsøger så at forstå f. eks. 3^4.9 som en udvidelse af det folkeskolekendte, hvilket ikke lader sig gøre.
Der må ganske enkelt et andet potensbegreb til for at definere og klargøre betydningen af bl.a. 3^4.9 - nemlig
x^n defineres som e^(n*ln(x)), x,n € R og x>0 og e^0=1.
dette potensbegreb kan så - når n er hel - udvides til
x^n = x*x*x........*x med n faktorer, x € R
Når ovenstående potensbegreb er grundlæggende og brugbart forstået – efter forudgående erkendelseskamp – ved man, at x^n altid er identisk med e^(n*ln(x)), når n er ikke-hel.
x^n, hvor n er KONSTANT og reel og x>0 for n ikke-hel og x € R for n hel,
kan -
som dig bekendt - differentieres efter
(x^n)' = n*x^(n-1),
og er udledt på samme måde, som anvendt i mit [Link],
(x^n)'=(e^(n*ln(x))' = e^(n*ln(x)*(n*ln(x))' = (x^n)*(n*1/x) = n*x^(n-1)
her er (n*ln(x))' let at beregne, fordi n er konstant.
2)
for (x^x)' = (e^(x*ln(x))' = e^(x*ln(x)*(x*ln(x))' =
(x^x)*(x*1/x+1*ln(x)) = (x^x)*(1+ln(x)).
og her er (x*ln(x))' lidt mere omfattende at differentiere, eftersom prokuktreglen skal anvendes, da både x og ln(x) er variable.
Beviset føres imidlertid på SAMME måde i 1) og 2), så der er ikke - som jeg fornemmer, du synes - tale om nogen som helst AFGØRENDE forskel - blot den, at 1) kan huskeregel-formaliseres
til
(x^n)' = n*x^(n-1), når n er konstant.
"...hvordan man så ved, at man skal omskrive x^x til e^(ln(x)*x)?" - når potenseksponenten er en variabel:
Det ligger vel grundlæggende i forståelsen af potensbegrebet:
x^n defineres som e^(n*ln(x)), x,n € R og x>0 og e^0=1
(hvilket har det begrebsmæssigt praktiske ved sig, at funktionen e^x kan danne grundlag i fortsat bevisførelse)
hvis n € Z
kan potensbegrebet udvides til
x^n = x*x*x........*x med n faktorer, x € R
som alment kendt fra Folkeskolens potensstof.
Måske ligger hunden begravet her.
Du ser måske potensbegrebet med folkeskolebriller, hvor n altid er hel og forsøger så at forstå f. eks. 3^4.9 som en udvidelse af det folkeskolekendte, hvilket ikke lader sig gøre.
Der må ganske enkelt et andet potensbegreb til for at definere og klargøre betydningen af bl.a. 3^4.9 - nemlig
x^n defineres som e^(n*ln(x)), x,n € R og x>0 og e^0=1.
dette potensbegreb kan så - når n er hel - udvides til
x^n = x*x*x........*x med n faktorer, x € R
Når ovenstående potensbegreb er grundlæggende og brugbart forstået – efter forudgående erkendelseskamp – ved man, at x^n altid er identisk med e^(n*ln(x)), når n er ikke-hel.
Skriv et svar til: (x^x)', 2. del
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.