Matematik
Skær planen kuglen?
09. januar 2007 af
Kais3r (Slettet)
I opg. 1084b 3H lyder spørgsmålet således: Afgør om planen a skærer kuglen, tangere eller ikke har fælles punkter med den når:
kuglens har centrum i C(0,0,0) og r=5, samt a: (x,y,z) = (4+s+3t , 1+4s+8t, 7+3s+6t). Her får kuglen ligningen: x^2 + y^2 + z^2 = 25.
Mine venner mener man kan bruge lige store koefficienters metode til at finde s og t. Jeg mener man skal løse opgaven anerledes:
Planen a har 2 retningsvektorer p=(1,4,3) og q=(3,8,6). Vi får pXq = n (planens normalvektor). Vi får n=(0,3,-4). En linje l der skærer i C(o,o,o) og har normalvektoren som retningsvektor, skærer planen vinkelret. Vi fremstiller en parameterfremstilling:
l: (x,y,z) = (0,0,0) + g*(0,3,+4)
Vi indsætter (x,y,z) i kuglens ligning og finder g:
(3g)^2 + (-4g)^2 = 25
= 9g^2 + 16g^2 = 25
= 25g^2 = 25
= g = +/- kva(1)
= g = +/- 1
Vi finder (x,y,z):
x = 0
y = 3*g = 3*1 = 3 el. y = -3
z = -4*g = -4*1 = -4 el. z= 4
Altså: Q(0,3,-4) el. Q1(0,-3,4)
Vi kender nu den vinkelrette skæring af l gennem centrum af kuglen og planen a. Derfor må gælde: dist(C,Q)=r, hvis Q skal ligge på kuglen.
Da C(0,0,0) er afstandens nemt udregnet:
Dist(C,Q) = Kva(0^2 + 9^2 + 16^2) = Kva(25) = 5 = r
Altså tangerer planen a på kuglen i enten Q el. Q1.
Så kommer spørgsmålet: Er en sådanne antagelse korrekt? Og er beregningerne korrekte. Mine venner fik at a ikke tangerer kuglen.
Med hilsen Christian.
kuglens har centrum i C(0,0,0) og r=5, samt a: (x,y,z) = (4+s+3t , 1+4s+8t, 7+3s+6t). Her får kuglen ligningen: x^2 + y^2 + z^2 = 25.
Mine venner mener man kan bruge lige store koefficienters metode til at finde s og t. Jeg mener man skal løse opgaven anerledes:
Planen a har 2 retningsvektorer p=(1,4,3) og q=(3,8,6). Vi får pXq = n (planens normalvektor). Vi får n=(0,3,-4). En linje l der skærer i C(o,o,o) og har normalvektoren som retningsvektor, skærer planen vinkelret. Vi fremstiller en parameterfremstilling:
l: (x,y,z) = (0,0,0) + g*(0,3,+4)
Vi indsætter (x,y,z) i kuglens ligning og finder g:
(3g)^2 + (-4g)^2 = 25
= 9g^2 + 16g^2 = 25
= 25g^2 = 25
= g = +/- kva(1)
= g = +/- 1
Vi finder (x,y,z):
x = 0
y = 3*g = 3*1 = 3 el. y = -3
z = -4*g = -4*1 = -4 el. z= 4
Altså: Q(0,3,-4) el. Q1(0,-3,4)
Vi kender nu den vinkelrette skæring af l gennem centrum af kuglen og planen a. Derfor må gælde: dist(C,Q)=r, hvis Q skal ligge på kuglen.
Da C(0,0,0) er afstandens nemt udregnet:
Dist(C,Q) = Kva(0^2 + 9^2 + 16^2) = Kva(25) = 5 = r
Altså tangerer planen a på kuglen i enten Q el. Q1.
Så kommer spørgsmålet: Er en sådanne antagelse korrekt? Og er beregningerne korrekte. Mine venner fik at a ikke tangerer kuglen.
Med hilsen Christian.
Svar #2
09. januar 2007 af Kais3r (Slettet)
Tak! Det var alt jeg behøvedes at vide!
Hilsen Christian
Hilsen Christian
Svar #3
10. januar 2007 af jgthb (Slettet)
#0
Det er desværre en forkert fremgangsmåde. Det du gør, er at finde skæringspunkterne mellem en kugle og en linje, som går gennem kuglens centrum, og derefter undersøge, om afstanden mellem skæringspunkterne o kuglens centrum er lig med radius. Det vil de selvfølgelig altid være. Det siger intet om den stillede opgave. Hvad du skal gøre er derimod bare at opskrive en ligning for planen og så bruge dist-formlen for en plan til et punkt (altså kuglens centrum. Er afstanden større, mindre eller lig med kuglens radius? Er den mindre, skærer planen to steder, er den lig med så et sted, og er den større så ingen steder. (jeg aner ikke, hvad svaret er, så du kan i og for sig godt have ret)
Det er desværre en forkert fremgangsmåde. Det du gør, er at finde skæringspunkterne mellem en kugle og en linje, som går gennem kuglens centrum, og derefter undersøge, om afstanden mellem skæringspunkterne o kuglens centrum er lig med radius. Det vil de selvfølgelig altid være. Det siger intet om den stillede opgave. Hvad du skal gøre er derimod bare at opskrive en ligning for planen og så bruge dist-formlen for en plan til et punkt (altså kuglens centrum. Er afstanden større, mindre eller lig med kuglens radius? Er den mindre, skærer planen to steder, er den lig med så et sted, og er den større så ingen steder. (jeg aner ikke, hvad svaret er, så du kan i og for sig godt have ret)
Svar #4
10. januar 2007 af jgthb (Slettet)
i øvrigt, nu når jeg er i gang på kritikertasterne: det hedder 'behøvede' ikke 'behøvedes' i din sætning i #2. Jeg har ikke helt fattet, hvorfor folk elsker at bruge det ord i passiv form konstant.
Håber du kan bære over med mig :)
Håber du kan bære over med mig :)
Skriv et svar til: Skær planen kuglen?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.