Matematik

løsning til diff. ligning

20. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Søger hjælp til følgende opgave:

"Find løsningen til differentialligningen:
dy/dx = -y/(x-2)

som opfylder y(1) = 3"

Jeg får konstant det forkerte facit.

Jeg bruger separation af en variable. Sætter

g(x) = 1/(x-2)
h(y) = -y

S (x-2) dx = S -y dy

Men det må været helt hen i skoven?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. januar 2007 af Matkaj

ja du skal kun tage den reciprokke til den fkt. der indeholder y dvs. den du kalder h

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. januar 2007 af Matkaj

Tænk således:
dy/dx =g(x)*h(y) <=>1/h(y) dy = g(x)dx

dvs. du separerer x'erne fra y'erne.
Tag så integralet på begge sider og du har seperationsformlen.

Svar #3
20. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Jeg er bare slet ikke med - beklager.

Er det forkert at kalde:
g(x) = 1/(x-2)
og
h(y) = -y
og så sætte dem ind?

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. januar 2007 af Matkaj

Problemet er at du lægger ud med at skrive:

S (x-2) dx = S -y dy men det skal være
S 1/(x-2) dx = S -1/y dy

Måske er problemet for dig at du har byttet om på h og g i forhold til i bogen?

Svar #5
20. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Arh, ja, det tror jeg da vist, jeg har..

Jeg vender lige tilbage, når jeg har prøvet igen - det håber jeg, der er ok!?

Svar #6
20. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Ja, nu spørger jeg nok dumt, men stamfunktionen til 1/(x-2) er der ikke nogen formel til at løse i vores mat. bog. Der er kun til 1/x, som er ln|x|.

Kan jeg bare erstatte x med x-2?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. januar 2007 af Matkaj

Ja, det kan du rent faktisk godt, men det er ikke noget der gælder generelt, men i det her tilfælde er det ok, det vises ved integration ved substitution.

Svar #8
20. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Lige for at være helt sikker, så får jeg sådan her:

ln|x-2| = -ln|y| + k

Og nu vil jeg så finde k?

Svar #9
20. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Det er virkelig noget rod det her - jeg får det samme facit som de andre gange, hvor jeg har lavet opgaven.

Jeg skriver den lige op:

S 1/(x-2) dx = S -1/y dy

ln|x-2| = -ln|y| + k

k findes. Vi indsætter x = 1 og y=3
Altså:

ln(1) = -ln(3) + k <=>
k = ln(3)

Vi sætter ind:

ln|x-2| = -ln|y| + ln(3)
y isoleres:
y = 3-|x-2|

Kan simpelthen ikke se mine fejl.
Håber på svar

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. januar 2007 af Matkaj

Du ved at y(1) = 3
Du ved at x-2 skal være forskellig fra 0 og at y skal være forskellig fra 0.
Da y og x skal tilhøre et interval må disse være:
x E ]-uend;2[ således er x aldrig 0 og x = 1 ligger i intervallet.
y E ]0;uend[ således er y aldrig 0 og y = 3 ligger i intervallet.
Du får så ln|x-2| = -ln|y| + ln(3) <=>
ln(y)=ln(3)-ln(-x+2) <=>
y = e^(ln(3)-ln(-x+2))=3/(-x + 2)

Svar #11
21. januar 2007 af ChristianL (Slettet)

Mange tak.

C-opgaven går ud på, at jeg tegner grafen. Der er selvfølgelig "hul" ved x = 2. Men da x er defineret i intervallet ]-uend;2[, så tegner jeg da bare grafen indtil "hullet" ved to, ikk?

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. januar 2007 af Matkaj

Skriv et svar til: løsning til diff. ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.