Matematik

Andenordens lineær diff.lign med variable koefficienter

14. marts 2007 af sontas (Slettet)

Hvordan løses diff.lign:

x(t)+t + tx'(t)+tx''(t) =0 <=>
x(t)/t+1+x'(t)+x''(t)=0

Jeg har rodet rundt i al muligt, hvad gør man nu så herfra?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. marts 2007 af Noura_0508 (Slettet)

mit bud vil være...

Du starter med at finde Diskriminanten

D= b^2 - 4¤a¤c

hvis D er positiv, fås to reelle rødder r1 og r1, dem finder du ved at gå videre med din ligning og siger r1= (-b+kvandr(D))/2
r2= (-b-kvandr(D))/2

så skal du indsætte det i hjælpeligningen:
y(x)=c1¤e^r1x+c1¤e^r2x

hvis D=0 er den generelle løsning:

y(x)=A¤e^kx+Bx¤e^kx ; k=-b/2a

hvis D<0 da her hjælpeligningen rødderne +/- iw med k=-b/2a og w= kvandr-D/2a

hjælpeligningen: y(x)=c1¤e^(kx)¤cos(wx)+c2¤e^(kx)¤sin(wx)

Så kan du måske komme lidt videre..

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. marts 2007 af sheaf (Slettet)

#1
Duer ikke; koefficienterne er ikke konstante.

#0
Standardforsøget hedder ordensreduktion. Kendes een løsning y1(x) til den homogene ligning

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 (*)

kan man finde en anden, uafhængig løsning y2 på formen y2(x) = y1(x)v(x), hvor v(x) bestemmes ved indsættelse i (*). Simple regninger giver

v(x) = y1*S[(1/(y1(x))²*exp(-S[p(x)]dx)]dx

Den fuldstændige løsning til (*) er mængden af linearkombinationer af y1 og y2. For de til (*) svarende inhomogene ligninger gælder et fra konstantkoefficienttilfældet kendt resultat; løsningerne er summen af en partikulær løsning til den inhomogene ligning og løsningerne til den homogene analog.

Alternativt kan i (*) indføres substitutionen

log(y) = log(w) - ½S[p(x)]dx

hvorved (udfør de krævede differentiationer) (*) kan bringes på formen

w'' + r(x)w = 0

Med (om muligt) w bestemt kan y bestemmes og der adderes en partikulær løsning til den inhomogene løsning.

Hvis det er en differentialligning, du selv har digtet, så god fornøjelse - det fører sjældent til behagelige regninger.

Svar #3
14. marts 2007 af sontas (Slettet)

hmmm du tænker på en homogen andenordens diff.lign med konstante koefficienter?

Svar #4
14. marts 2007 af sontas (Slettet)

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 (*) Hvordan skal den løses her?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. marts 2007 af sheaf (Slettet)

#3
Hvis henvendt til #2: Nej, det gør jeg ikke.

#4
Som skrevet i #2.

Svar #6
14. marts 2007 af sontas (Slettet)

# 3 var henvendt til # 1. #5 problemet er bare, at jeg ikke kender nogen løsning til diff.ligningen, hvordan findes den? Herefter kan jeg bruge fremgangsmåden, som skrevet i #2.

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Funktionen y(t) = -½t er en partikulær løsning.

Den homogene ligning

tx''+tx'+x=0

transformeres ved variabelsubstitutionen s=-t over i en diffentialligning som er et specialtilfælde af Kummer's differentialligning

sy''+(c-s)y'-ay=0

med c=0, a=1. Løsningerne til disse er Kummers funktioner af 1. og 2. art. De kaldes også konfluent hypergeometriske funktioner af 1. hhv. 2. art og skrives 1_F_1(a;c;s) og U(a;c;s). Løsningsmængden er samtlige linearkombinationer af disse.

1_F_1(a;c;s) er en hypergeometrisk række.

Jeg har ikke forsøgt at løse ligningen.

Hvis det er en opgave, du har fået stillet, er der en enklere fremgangsmåde; du har sikkert aldrig hørt om ovenstående. Betragt det i så fald som nice to know.

Svar #8
15. marts 2007 af sontas (Slettet)

#7 Jo tak for, at du tager der tid til at besvare mine indlæg! Jeg må have have lavet en fejl et sted i mine udegninger ( det er sådan set eulers diff.ligning, som jeg har fået diff.ligningen i # 0 fra). Hvad læser du sheaf?

Skriv et svar til: Andenordens lineær diff.lign med variable koefficienter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.