Matematik
Kompakt mængde
01. april 2007 af
sontas (Slettet)
Redegør for følende mængde er kompakt:
D = {(x,y,z) e R^3 | g(x,y,z)<= 0 og h(x,y,z)<= 0}
Hvor g(x,y,z)=x^2+z-3, h(x,y,z)=y^2-z-2
Det er let nok at redegør for, at den lukket, men hvordan redgør man for, at den er begrænset?.
D = {(x,y,z) e R^3 | g(x,y,z)<= 0 og h(x,y,z)<= 0}
Hvor g(x,y,z)=x^2+z-3, h(x,y,z)=y^2-z-2
Det er let nok at redegør for, at den lukket, men hvordan redgør man for, at den er begrænset?.
Svar #1
01. april 2007 af sheaf (Slettet)
Det er helt korrekt, at en delmængde af Euklidisk rum R^n er kompakt hviss den er lukket og begrænset (Heine-Borel).
Som det oftetst er tilfældet er der mere end een måde at gøre tingene på. Mest illustrativt er nok en "back to basics" tilgang.
Specifikt skal det vises, at D er indeholdt i en n-kugle x1²+x2²+...+xn² <= R² i R^n med endelig radius R.
Bemærk først at x² og y² er positive hvilket restringerer z til [-2,3].
Bemærk dernæst at funktionssummen f(x)+g(x) <= 0 viser at x²+y² <= 5.
Konkluder selv.
Som det oftetst er tilfældet er der mere end een måde at gøre tingene på. Mest illustrativt er nok en "back to basics" tilgang.
Specifikt skal det vises, at D er indeholdt i en n-kugle x1²+x2²+...+xn² <= R² i R^n med endelig radius R.
Bemærk først at x² og y² er positive hvilket restringerer z til [-2,3].
Bemærk dernæst at funktionssummen f(x)+g(x) <= 0 viser at x²+y² <= 5.
Konkluder selv.
Svar #2
01. april 2007 af sontas (Slettet)
Så havde jeg egentlig grebet den rigtigt an, men jeg var ikke sikker. Da x^2+y^2 <= 5, så vil det sige, at y e [-sqrt(5),sqrt(5)] og samme for x, derved, fås at z e [2,3] ikke? Da max y^2=5 og samme for x^2. Tak for hjælpen.
Svar #3
02. april 2007 af sontas (Slettet)
glem lige hvad jeg skrev der! Man skal indsætte den mindste værdi for y^2 og x^2 for at finde ud af, hvor z løber.
Skriv et svar til: Kompakt mængde
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.