Matematik

N og R/Q

17. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvordan beviser man, at kvadratroden af et tal enten giver et naturligt tal eller et irrationalt tal?

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. april 2007 af Duffy

Kvadratroden af tal kan også være rationalt.

Fx er

sqrt(1/4) = 1/2

Svar #2
17. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Okay så er det vel når man tager kvadratroden af et naturligt tal reglen gælder..

Vil du bevise det for mig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. april 2007 af Duffy

Næh! Er det ikke meningen at du selv skal bevise det?

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. april 2007 af Esbenps

Du kan gå ind på wikipedia via det link, jeg gav dig om sqrt(2) og se på beviset for den. Så kan du bare prøve selv at generalisere det...

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. april 2007 af Esbenps

...og ja, det er kun når det er et naturligt, der tages kvadratroden af, at man enten får et andet naturligt tal eller et irrationalt tal. Det læste jeg i hvert fald et sted; har aldrig set beviset.

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. april 2007 af sheaf (Slettet)

Der er tale om en simpel generalisering af allerede anførte beviser for irrationalitet.

Lad n, q være naturlige tal. Vi ønsker at vise, at hvis n^(1/q) ikke er heltallig, så er det irrationalt.

BEVIS: Antag n^(1/q) er rationalt. Så findes naturlige tal a og b /= 1 med sfd(a,b)=1 så n^(1/q)=a/b. Dermed er n = a^q/b^q. Venstresiden er heltallig hvorfor højresiden er ligeså. Tallet b^q kan ikke være divisor i a^q [følger af aritmetikkens fundamentallemma, som du har spurgt om andetsteds] med mindre b^q=1, hvilket er absurd.

Et trivielt korollar er, at hvis for naturlige tal n,p,q n^(p/q) ikke er heltallig, så er det irrationalt.

Svar #7
18. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#6 Tark! På den måde kan man samtidig bevise at fx (8)^0,5 er irrationalt.

Skriv et svar til: N og R/Q

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.