Fermats metode

Mente bevise ud fra ligningen at 37 er et primtal, da 37 netop ikke kan primfaktoriseres.

Hvis n er et ulige helt tal, så kan n faktoriseres, hvis og kun hvis der findes heltallige løsninger x og y til ligningern: n=x^2-y^2.
Bevis:
Antag først, at der findes heltallige løsninger til ligningen. Vi bruger nu reglen om 2 tals sum gange de samme to tals differens, får vi en faktorisering af de to faktorer x+y og x-y:
n=x^2-y^2=(x+y)(x-y).
Omvendt hvis n kan faktoriseres som for eksempel n=ab (vi antager at a er størst), så kan vi skrive n på formen:n=((a+b)/2)^2 –((a-b)/2)^2.
Lad os prøve at omskrive ligningen til: x^2-n=y^2. Vi lader nu k være det mindste tal, der opfylder k^2>n og vi betragter følgende:
k^2-n,(k+1)^2-n,(k+2)^2-n, (k+3)^2-n….+(k+j)^2-n.
Når k+j=1/2(n+1) er et af tallene et kvadrattal.

Kan du selv fortsætte herfra?

V.h.
Erik Morsing

#2 Ja, det giver mening. Tak for hjælpen :)