Matematik

Integration ved substitution

23. august 2007 af MP7 (Slettet)

Er der nogen, der kan forklare mig princippet i integration v. substitution - og evt. give mig et eksempel?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

ja, der er mange muligheder, jeg kan godt sende dig et par eksempler, med øvelsen kan du selv finde den bedste substitution, men det kommer ikke på een gang.

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Her er foreløbig en opgave:
Integralet af (x/(x^2+1))dx Brug substitutionen u = x^2 + 1, så får du
du = 2*x dx eller x*dx = 1/2*du, så du nu i stedet integrerer funktionen:
1/2*integralet(du/u) = 1/2*ln(u) +C , hvor du skal læse det som den numeriske værdi. Så sætter du værdien tilbage x^2+1 i stedet for u
Du kan også få en, du selv kan øve dig på, og så kan vi snakkes ved senere.

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Her er en, du kan øve dig på (brug substitutionen t = x+2, omskriv først nævneren.

integralet(dx/(x^2+4*x+5))

Svar #4
23. august 2007 af MP7 (Slettet)

Hej! Tak for svarene.
#3 - Jeg tror ikke helt, at jeg kan finde ud af den?

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#4
Prøv at omskrive nævneren til (x+2)^2+1 (men du skal kontrollere, at det kan skrives sådan, ellers lærer du ikke noger. Nu kan du sikker komme videre, altså t=x+2, dt=dx

Svar #6
23. august 2007 af MP7 (Slettet)

#4 - Jeg skal først differentiere den indre funktion, som er x^2+4*x+5. (x^2+4*x+5)' = 2x + 4?

Ikke for at være irriterende, men jeg er ikke helt med på, hvordan jeg skal omskrive den?

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Du er bestemt ikke irriterende, lad være med at tro det.
Det med at omskrive kræver på en måde, at du kan se dig ud af det, her er det oplagt, at det er noget med (x+2)^2, fordi, når du ganger den ud, så får du det meste at det, der står, du får altså x^2+4*x+4, men så mangler der 1, den lægger vi til, så passer pengene, altså (x+2)^2+1, så kan du se, at vi kan få t^2+1 i stedet for vort oprindelig udtryk.
Somme tider er man endog nødt til at substituere et par gange til for at nå frm til en håndterlig form.
Håber det klarede det.

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. august 2007 af Sonja R (Slettet)

Integration ved substitution er desværre en af matematiske tricks der kræver en del øvelse: man skal kunne "se" hvad man skal bruge som t... Der er således ingen vej udenom masser af praktisk træning! Når du har en funktion der er sammensat er det typisk en god idé at prøve med t = den inde funktion (som EM's opgaver ovenfor). Når du har gættet på et t tager du dt/dx og gomskriver til dx = [et eller andet]dt. Du sætter så t ind i din formel og skifter dx ud med hvad det nu blev. Er der flere x'er tilbage (når du har forkortet om muligt) har du valgt et forkert t (eller regnet forkert...!). Så skulle det være lige til at integrere med hensyn til t! Husk når du har integreret at indsætte den x-afhængige funktion som t i virkeligheden var i stedet for t...
Håber det hjælper på forståelsen - ellers skriv igen!

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. august 2007 af mathon

...den foreslåede opgave i #2 var måske lidt indsigtsvanskelig for en integralsubstitutionsbegynder, men nevermind...

se
http://www.peecee.dk/index.php?id=64357

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#9
Nåh ja, jeg kan godt lide dit ord: "integralsubstitutionsbegynder"
Jeg synes nu forresten heller ikke, at Sonjas udlægning er for begyndere. Tror jeg vil forklare det på denne her måde:

Hvis du støder på et integral, du ikke rigtigt lige kan gennemskue løsningen på, (hvordan det skal regnes ud), så er der flere muligheder, hvoraf integration ved substitution kun er en af dem. En anden er partiel integration. En klasse for sig er de trigonometriske substitutioner (det er nogle svære ord, vi jonglerer med her!), men det skal man ikke lade sig kyse væk af, al matematik kan i virkeligheden koges helt ned til addition. (Nu kommer Sonja efter mig!).

Hvad du skal bruge, kommer, som vi jo er enige om her, med øvelsen - og kun med øvelsen. Eneste forskel på geniet og gennemsnitseleven er, at hos førstnævnte kommer forståelsen hurtigere, men han slipper alligevel ikke for at øve.

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Her kommer en let opgave: Beregn det bestemte integral, 1<x<2 af funktionen f(x) = x+2. Det er bestemt ikke nødvendigt at bruge substitution, men lad os bare for sjov sætte t = x+2.

1) Hvad er så dt =?

Når man arbejder med den slags, så er det nødvendigt at ændre på integrationsgrænserne, x lå jo mellem 1 og 2.

2) Hvad ligger t så mellem?

3) Hvad bliver resultatet, og bliver det det samme, hvis du ikke benytter substitution?

Dem kan du prøve at pusle lidt med.

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. august 2007 af mathon

...her kan nedenstående lille stamfunktionsliste
måske være brugbar:

se
http://www.peecee.dk/index.php?id=64361

Brugbart svar (0)

Svar #13
24. august 2007 af mathon

...og måske også denne

se
http://peecee.dk/uploads/0607/4_differential--og-integralregning.doc

Svar #14
24. august 2007 af MP7 (Slettet)

#11

1) så skal jeg diff. x + 2? - I så fald bliver det 1.

Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.