Raketbil med variabel masse

OK, det er længe siden jeg har haft det, men jeg ville betragte systemet bil + forbrændingsprodukt som et hele, et lukket og isoleret system. Ser vi på bilen og udstødningsgassen, så må der gælde, at systemets lineære moment er bevaret i tidsrummet dt, altså: P(i)=P(f), start- og slutværdier. Ligningen kan skrives: M*v=-dM*U+(M+dM)*(v+dv). Størrelsen -dM*U er det lineære moment af udstødningsgassen i tiden dt, og resten er det lineæe moment af bilen ved slutningen af intervallet dt. Nu kan vi simplificere ligningen ved at bruge farten u af udstødningsgassen, så vi lander på u=(v+dv)-U<=>U=v+dv-u, der indsat i den første ligning giver:
-dM/dt*u=M*dv/dt.
Hastigheden, som var den, du skulle finde, får du af:
dv=-u*dM/M, der integreret giver v(f)=v(i)+u*ln(M(i)/M(f), M(i) er altså bilens oprindelige masse, M(f) slutmassen

Hvad har du selv af ideer??

Altså de ting, du finder frem til, ligner noget af det, vi har arbejdet med. Problemet er dog, at vi i alle tilfælde har regnet på det som en raket, der bevæger sig lodret opad, og hvor tyngdekraften selvfølgelig påvirker den. Situationen hér er for mig at se mere kompleks, idet bilen for det første bevæger sig i en cirkel, og for det andet er påvirket af andre kræfter. Og derfor er jeg i tvivl om løsningen af den.

Spørg Peter Lind, men umiddelbart vil jeg mene, at du kan betragte bevægelsen, som om den foregår over det differentielle tidsrum dt, og derved bevæger sig stykket dS altså langs tangenten til et punkt på cirklen.
Men som sagt, jeg har ikke arbejdet med det i mere end 30 år, så min hukommelser er noget rusten.

Hvem er Peter Lind..?

Udstrømningshastighed og trykkraft er konstante. Derfor er massetabet konstant og givet ved

dm/dt = -F/u

hvorved bilens masse kan opskrives som en lineær funktion af tiden.

Bevægelsen bestemmes blot af NII. Kræfter på bilen er trykkraften F, friktionen G, tyngdekraften F_t = m(t)g og den dertil svarende normalkraft.

sheaf >> Dvs. jeg ganger dt over og integrerer på begge sider. Så har jeg massen som funktion af tiden? Men hvordan skal jeg bruge det videre?

Har kigget på N2 - N og T går ud med hinanden. Skal gnidningskraften medtages i disse beregninger? Den er jo vinkelret på bevægelsen, dvs. vinkelret på hastigheden - Spiller den så nogen rolle?

På forhånd tak.

Okay, jeg er med på idéen om, at man finder massen som en funktion af tiden. Men hvordan gøres det i praksis. Når man har dm = (-F/u)*dt, hvad gør jeg så? Integrerer på begge sider? Hvordan ser det ud, hvis man gør det slavisk, er nemlig ikke sikker på, hvad det leder frem til. Når man har dette fortsættes med N2, hvilket giver:

m*a = Ft + Fn + Fg + F. Fn = Fg, så:

m*a = Fg + F = my * m(t) * F, dvs.

dv/dt = (my*m(t)*F)/m - Skal m'et i nævnerne også være m(t)? Hvilket leder til:

dv = ((my*m(t)*F)/m) * dt. Integrerer man så på begge sider? Og finder sit svar? Hvis ja, hvordan ser skridtene i denne integration så ud?

På forhånd tak.

Nu har jeg regnet mere på det. Når man skriver op vha. N2 er det jo vektorstørrelser, man betragter, idet F og F_g er i to forskellige dimensioner. Men hvordan bringer man dette med i sine udregninger? (De eksempler, jeg har, er i én dimension, hvilket jo simplificerer tingene). Og ender gnidningskraftens bidrag ikke med at blive nul, idet den står vinkelret på bevægelsen (: hastigheden) og derved ikke har nogen indflydelse herpå?

På forhånd tak.

Som nævnt er massatabet konstant og bestemt af forholdet F_t/u. Kald det m'. Bilens masse som funktion af tiden er så m(t) = m0 - m't gældende i det tidsrum 0<=t<=t_slut hvor raketmotoren er aktiv.

Bilen bevæger sig i en cirkelbevægelse. Til det kræves en centripetalkraft. Den kan kun leveres af friktionen mellem dæk og vej. Centripetalkraften er derfor netop gnidningskraften. Bemærk at gnidningskraften _ikke_ er bagudrettet i forhold til bilens bevægelsesretning. En gnidningskraft forudsætter en friktion, hvilket i det konkrete tilfælde indebærer at dækkene skrider henover vejen eller forsøges på det. Dækkenes normale rulning henover vejen er ikke en friktion. Der oplyses ingen rullemodstand og derfor antages at den er nul.

Gnindingskraften er netop så stor at den leverer den cirkelbevægelsen nødvendige centripetalkraft indtil det tidspunkt T hvor den maksimale størrelse den kan antage (my*m(T)g) ikke er tilstrækkelig til at levere den krævede centripetalkraft. Bilen skrider derefter ud.

NII projiceres på planen hvori bevægelsen foregår og lodret:

I : m(t)a = F_t + F_g
II: N = m(t)g

Ligning I er en vektorligning og projiceres på en retning parallelt med bilens bevægelse og en retning vinkelret derpå (d.v.s. gennem cirkelcenteret):

Ia : m(t)a_ = F_t
Ib : m(t)a| = m(v(t))²/R

hvor a_ og a| er komposanten af a i retningen parallel h.h.v. vinkelret på bevægelseretningen og højresiden af IIb udtrykker at accelerationen vinkelret på bevægelses netop er centripetalacceleartionen. Udtryk IIb gælder kun sålænge bilen ikke skrider ud.

Og det gik så igen lovligt hurtig eftersom Ib retteligt skal være:

Ib : m(v(t))²/R = F_g

Den skal jo netop udtrykke at centripetalkraften leveres af friktionen.