Matematik

Hjælp: tangenter til cirkel

26. oktober 2007 af wiczar (Slettet)

Hej
Jeg kunne godt bruge lidt hjælp til en opgaver, der volder lidt besærligheder:

En cirkel er givet ved ligningen:
x^2+4x+y^2-6y-23=0 , hvor jeg så får cirklens ligning til (x+2)^2+(y-3)^2=36 , Derved er cirklens centrum (-2,3) og radius 6

Der er en linje l : 3x-4y-4=0
Afstanden fra linje l til cirklens centrum har jeg beregnet til 4,4.

Nu skal jeg så bestemme en ligning for hver af to tangenter til cirklen, der desuden er parallelle med l. Jeg ved, når de er parallelle har l og tangenterne samme hældning og så må tangenternes hældning være 3/4. Men jeg kan ikke gennemskue hvordan jeg skal finde skæringspunkt med y-aksen, b?

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. oktober 2007 af ibibib (Slettet)

Udnyt at radius står vinkelret på tangenterne.

Svar #2
26. oktober 2007 af wiczar (Slettet)

ja nemlig, Skal jeg så finde afstanden fra linjen l til tangenten ved 6-4,4 og 6+4,4? Men hvis jeg gør det er afstanden der imellem ikke den samme som afstanden på y-aksen?

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. oktober 2007 af ibibib (Slettet)

Afstanden mellem linjen og de to tangenter kan du ikke bruge til noget. Linjen går vel ikke ikke gennem cirklens centrum.

Du kan starte med at bestemme tangenternes røringspunkter. Det er skæringspunkterne mellem radius og cirkel.

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. oktober 2007 af mathon

(x+2)^2+(y-3)^2 = 36

(y-3)^2 = 36-(x+2)^2

|y-3|= sqr(36-(x+2)^2), som spalter op
i

øvre halvcirkel:
y1 = f1(x) = 3+sqr(36-(x+2)^2) med f1'(x) = -(x+2)/sqr(36-(x+2)^2)
og
nedre halvcirkel:
y2 = f2(x) = 3-sqr(36-(x+2)^2) med f2'(x) = (x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

linjen: 3x-4y-4=0 eller
y = (3/4)x-1

tangenter:
f1'(x) = (3/4) = -(x+2)/sqr(36-(x+2)^2), hvoraf
-(x+2)/sqr(36-(x+2)^2) = 0,75 med løsningen
x = -5,6

f2'(x) = (3/4) = (x+2)/sqr(36-(x+2)^2), hvoraf
(x+2)/sqr(36-(x+2)^2) = 0,75 med løsningen
x = 1,6

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. oktober 2007 af mathon

røringspunkt til øvre halvcirkel: (-5.6;f1(-5.6)) = (-5.6;7.8)
røringspunkt til nedre halvcirkel: (1.6;f1(1.6)) = (1.6;-1.8)

tangent til øvre halvcirkel:
y-7.8 = 0,75*(x+5.6) eller y = 0,75x + 12

tangent til nedre halvcirkel:
y+1.8 = 0,75*(x-1.6) eller y = 0,75x - 3

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. oktober 2007 af mathon

rettelse:
røringspunkt til nedre halvcirkel: (1.6;f1(1.6)) = (1.6;-1.8)

-->

røringspunkt til nedre halvcirkel: (1.6;f2(1.6)) = (1.6;-1.8)

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. oktober 2007 af mathon

...alternativt

linjen gennem centrum (-2,3)parallel med 3x-4y-4=0

har ligningen

y-3 = 0,75(x+2) eller 3x - 4y + 18 = 0

den ene søgte tangent skal ligge i afstenden +6 fra 3x - 4y - 18 = 0,
hvoraf

(3x-4y+18)/sqr(3^2+(-4)^2) = 6 eller y = 0,75x - 3

den anden søgte tangent skal ligge i afstenden -6 fra 3x - 4y - 18 = 0,
hvoraf

(3x-4y+18)/sqr(3^2+(-4)^2) = -6 eller y = 0,75x + 12

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. oktober 2007 af mathon

...alternativt_2

linjen gennem centrum (-2,3) vinkelret på 3x-4y-4=0
har
ligningen

y-3 = -(4/3)(x+2) eller y = -(4/3)x + (1/3)
som substitueret i

(x+2)^2+(y-3)^2 = 36
giver

(x+2)^2+(-(4/3)x + (1/3)-3)^2 = 36 med løsningerne

x1 = 1.6 og x2 = -5.6

hvorefter resten "køres"

som i #5

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. oktober 2007 af mathon

...det var måske på sin plads at præcisere, at det i # 8 er røringspunkternes 1.koordinater, som beregnes...

Skriv et svar til: Hjælp: tangenter til cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.