Sum af grænseværdier.

Svar #1
14. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Svar #2
15. november 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

Svar #3
15. november 2007 af Plooki (Slettet)

Svar #4
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Definitionen på, hvad en grænseværdi er, ser ud som følger:

Lad en, f(x), og et (grænse)punkt, x_0, der ikke behøver at ligge i f's definitionsmængde, være givet. Så siges a at være f's grænseværdi for x gående mod x_0, når der til ethvert epsilon større end nul eksisterer et delta større end nul, så

medfører, at

Jeg poster lige denne definition først, da den skal bruges i det videre arbejde.

Svar #5
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Hvis vi nu har to funktioner, f og g, der begge opfylder ovenstående definition for det samme x_0, og med grænseværdierne a og b, skal vi altså vise, at dette medfører, at man kan opnå en tilsvarende vurdering af f+g med grænseværdi a+b. Vi skal altså vise, at hvis nogen kommer med et hvilket som helst epsilon større end nul, så kan vi finde et delta større end nul, så:


medfører, at


Det var næste trin i arbejdet - nu er spillerne efterhånden linet op :)

Svar #6
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Nu lader vi et vilkårligt epsilon være givet. (Det er sådan en matematisk standardformulering, der betyder, at nu er epsilon et eller andet fast tal, som vi derfor kan bruge i vores videre udregninger). Da både f og g opfylder definitionen ovenfor uanset hvilket epsilon, man kommer med, så kan vi også få dem til at opfylde definitionen, hvis epsilon kun er halvt så stort! Vi ser altså på:

og får opfyldt de to definitioner, som vi ved, vi kan:


medfører at

og

medfører at

Svar #7
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Jeg har sat indeks på epsiloner og deltaer, så man kan se, hvilken funktion, de vedrører. Med andre ord, kan vi få f(x) tættere på a end epsilon halve med ét passende delta, mens g(x) kommer tættere på b end epsilon halve med et andet passende delta.

Fidusen er nu, at vi kan kræve at afstanden mellem x og x_0 bliver mindre end begge deltaer på én gang, så begge definitioner er tilfredsstillet samtidig. Jeg definerer nu et nyt delta til at være lig det mindste af de to ovenstående. Med andre ord påstår jeg nu, at med


vil den definition, vi skal vise er opfyldt, være opfyldt.

Svar #8
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Til sidste del af arbejdet skal vi bruge en vurdering, der går under navnet "trekantsuligheden". Navnet skyldes nok, at den oprindeligt siger, at i en trekant, vil summen af længderne af to af siderne være større (eller lig) længden på den sidste side. Lighedstegn gælder kun, når trekanten er "kollapset" og ikke længere er en egentlig trekant. Men uligheden fungerer for både tal og vektorer, så her kommer den version, vi skal bruge:

Givet to tal, a og b, vil der gælde:



Nu kommer afslutningen af beviset.

Svar #9
15. november 2007 af tal-pædagog (Slettet)

Trekantsuligheden bruges til følgende vurdering:


hvor ulighedstegnet netop er trekantuligheden.

Sammenholder man alle de ting, der står ovenfor, kan man konkludere på følgende måde:


medfører at


Hvis man går alle besværlighederne, der er skrevet her, efter i sømmene, ser man, at jeg netop har vist, at hvis f og g opfylder definitionerne for at have grænseværdier hhv. a og b i x_0, så kan man udlede, at f+g opfylder definitionen for, at den har a+b som grænseværdi i x_0.