Matematik

Optimering: Find bund+højde.

24. november 2007 af Pavilion (Slettet)

Jeg har en opg her der lyder:
En kasse der er åben skal have en kvadratisk bund, og skal have et rumfang på 4000cm^3.

(¤) Bestem siden i bunden, og kassens højde, så overfladen er så mindst mulig.

Jeg, tror, jeg har fundet ud af hvordan den er med et låg:

Kvad(4000cm^3) = 63,3
63,3:4 = 15,8

Men er dette rigtigt?
Og nogen der kan hjælpe med den den første opg? Uden låg.

Jeg ved at pga. den er kvadratisk skal b hedder bx^2.
Så ligningen kommer til at hedder=
V = bx^2 * h = 4000cm^3 = bx^2 * h.
Men der kan jo ikke være 2 ukendte tal.

Hjælp? x)

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2007 af peter lind

Du kan bruge det sidste udtryk til at finde x som funktion af højden(eller omvendt h som funktion af x). Du finder derefter overfladen som funktione af h og x. Heraf eliminerer du h(eller x). derefter har du en funktion af en variabel, hvor du kan finde minimum på sædvanlig måde.

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. november 2007 af Benjamin. (Slettet)

V = x^2·h
hvor x er sidelængden i kassens bund og h er højden i kassen.
(1) Brug at V = 4000 til at isolere h, så du får et udtryk for højden.
(2) Lav en forskrift O(x,h) for overfladearealet som funktion af h og x.
(3) Indsæt udtrykket for h, som blev fundet i (1) i forskriften O(x,h), så du får O(x).
(4) Differentiér funktionen O(x) for overfladearealet som funktion af x.
(5) Sæt O´(x)=0 og løs denne ligning.
(6) Opstil en monotonilinje og konkludér herudfra ekstrema, samt om de er lokale eller globale.

Svar #3
24. november 2007 af Pavilion (Slettet)

Ehm, ok.

#2
Jeg er med på formlen V=x^2*b
Men når jeg skal isolere.
4000=x^2*h = 4000/x^2=h (?)

Men forskrift?
Hvad mener du der?

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. november 2007 af Benjamin. (Slettet)

#3
Rigtigt, et udtryk for h:
h = 4000/x^2
Forskriften:
O(x,h) = 4·h·x + x^2
(Prøv selv, om du kan forklare hvorfor)
Hvis du indsætter udtrykket for h i forskriften O(x,h) i stedet for h, får du:
O(x) = 4·(4000/x^2)·x + x^2

Svar #5
24. november 2007 af Pavilion (Slettet)

Forklare o(x,h)?
Altså først, hvorfor O foran?
Og hvorfor hedder det o(x,h)?
Synes ikke jeg har set den nogen steder.

Men x^2 fordi den er kvadratisk.
4 ved jeg ikke hvorfor. Ville mene at der skulle stå 3 hvis det er en kasse uden låg.
Eller skal man tænke på siderne?

Og udtrykket:
4*(4000/x^2)*x+x^2, hvad skal jeg med det?
Solve?

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. november 2007 af Benjamin. (Slettet)

#5
O(x,h):
Jeg har bare kaldt funktionen O, fordi det er overfladearealet, den beskriver - det kunne have været stort set alle andre symboler.
Grunden til at jeg har skrevet (x,h) er, at funktionen både afhænger af x og h, så længe h ikke er bestemt. Når vi kender h, afhænger funktionsværdien kun af x.

O(x,h) = 4·h·x + x^2:
De 4·h·x er arealet af kassens 4 sideflader. x^2 er rigtigt nok bundens areal.

Hvad skal man så gøre med O(x)?:
"...
(4) Differentiér funktionen O(x) for overfladearealet som funktion af x.
(5) Sæt O´(x)=0 og løs denne ligning.
(6) Opstil en monotonilinje og konkludér herudfra ekstrema, samt om de er lokale eller globale."
Altså det man normalt gør ved optimering.

Svar #7
24. november 2007 af Pavilion (Slettet)

6#

Hmm, differentier funktionen o(x) for overfladearealet som funktion af x.

Hmm, skal jeg så diffentier 4*(4000:x^2)*x+x^2 ?

Altså hvis jeg putter den i solve,
får jeg en formel der hedder
x^2 + (16000/x)

er det den jeg skal diff?

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. november 2007 af Benjamin. (Slettet)

#7 Ja.

Svar #9
24. november 2007 af Pavilion (Slettet)

8#
Men når man skal diff en brøk. Skal man gøre det på samme måde?

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. november 2007 af Benjamin. (Slettet)

#9 Se i din bog under reglerne for differentiation. Du kan starte med at differentiere hvert led, x^2 og 16000/x, for sig og derefter lægge dem sammen.
Jeg går ud fra, at du ikke har problemer med x^2.
Det andet led kan differentieres ved ordinær differentiation af en brøk, men det kan også gøres på andre måder. F.eks. kan du omskrive brøken på følgende måde:
16000/x = 16000·1/x = 16000·x^(-1)
Dette går jeg ud fra, at du også kan differentiere.

Men som sagt: se dine bøger igennem for regnereglerne.
Ellers findes de væsenligste af dem her: https://www.studieportalen.dk/Opgaver/9786/Optimeringsnote.aspx og mange andre steder.

Skriv et svar til: Optimering: Find bund+højde.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.