inkommensurable størrelser

Fordi man mente, at indenfor talteorien kunne man kun regne med kommensurable størrelser, hvorfor talteori var en "fattigere" form for matematik end geometri.

Problemet med eksempelvis kvadratroden af 2 - det klassiske eksempel - er, at hvis man står med den berømte ligebenede, retvinklede trekant med katetelængde 1 og hypotenuselængde kvadratrod 2, så vil man ikke kunne måle kateternes og hypotenusens længde med det samme målebånd... (Inkommensurabel = u-sammen-målelig).

Forestil dig nemlig, at du står med et målebånd, hvor kateterne hver især måler præcis b enheder på dit målebånd. Hvis hypotenusen kunne måles på samme målebånd, ville den ramme én af de andre streger på målebåndet nøjagtigt. Altså kunne hypotenusen måles til at være nøjagtigt a enheder på målebåndet. Af Pythagoras fremgår det så, at b^2 + b^2 = a^2, eller 2b^2 = a^2. Eller omskrevet lidt a^2/b^2 = 2. Dvs. at a/b er kvadratroden af 2.

Men da man beviste, at kvadratroden af 2 ikke var et talteoretisk objekt, da der ikke findes hele tal (som jo er talteoriens byggesten) til at beskrive dette forhold, var geometrien altså "rigere" end talteorien. Husk på, at det ikke dengang var en naturlig tankegang, at man kunne definere en udvidelse af talbegrebet, så kvadratroden af 2 igen blev et talobjekt. Det er jo kun fordi der har levet matematikere, der har været i stand til at tænke særdeles abstrakt, at man i dag opererer med den slags talobjekter.