Matematik

Reel vs. kompleks

14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

Okay, lige nu sidder jeg og løser en andenordens differentialligning. I bogen kommer jeg så til et sted, hvor de springer en udregning over (igen, igen), men anyway. Jeg får selv klaret omskrivningen, den var heldigvis ikke så svær, men så synes jeg, der er noget der underligt.

Se omskrivningen: http://jollej.dk/eq.jpg

Bogen springer direkte fra (1) til (2). Det underlige er nu, at så skriver de: "Vælges A og B reelle, da vil ...".
Før kunne jeg godt se, at A og B kunne vælges reelle, men efter at selv at have lavet omskrivningen ser jeg jo, at:
A = c1 + c2 og B = i*c1 - i*c2 <=> B = i*(c1-c2).
Jeg kan virkelig ikke se, hvordan både A og B kan vælges reelle, med mindre c1=c2, hvilket de ikke er.
Vælges c1 og c2 begge reelle bliver A reel, men B kompleks, vælges c1 og c2 komplekse, bliver A kompleks og B reel.

Jeg har virkelig brug for, at de begge er reelle... :) Sååe, anyone? Kan I hjælpe? :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. december 2007 af kleif

Det kan de da sagtens. Du kan blot tage den reelle del af hhv. A og B.

Så: A = Re{c1 + c2} og B = Re{i*c1 - i*c2}

Eller har jeg misforstået problematikken i sætningen:
"Vælges A og B reelle, da vil ..."

Svar #2
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

Kan man godt bare gøre sådan? (jeg har ikke så meget forstand på komplekse tal). Men jeg troede da, at når der står A = c1 + c2, så kan jeg ikke bare vælge realdelen og sige A=Re(c1 + c2). :s

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. december 2007 af kleif

Der er der ikke noget i vejen for.
Alle tal har jo i sin forstand en kompleks del. Men når tallet udelukkende er reelt, så er den komplekse del blot 0:

tal: a+b*i

er den reel, er b = 0. Så: a+0*i = a

Svar #4
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

hehe, ja okay... Det ved jeg jo godt. :) Men det må jeg jo bare acceptere så. Selvom jeg er sådan lidt imod det.

Men dog ikke ligeså meget som jeg er imod, at man kan DEFINERE:
e^(x+iy) = e^x*(cos(y) + i * sin(y)).
Seriøst; hvordan kan man bare definere det? Jeg fatter det ikke. Og så endda bagefter bruge det til noget i den fysiske verden. Jeg mener, altså, jeg føler, at det eneste man i matematik har DEFINERET er aksiomerne - alt andet er lavet ud fra beviser. Hvordan kan man så pludselig definere sådan noget? I mit hovede giver det ikke mening. Jeg kan godt se, at det er smart, hvis det var sådan, og en masser passer også så. Men det er jo matematik det her ffs, ikke fysik. Der skal da være bevis for at e^(x+iy) = e^x*(cos(y) + i * sin(y). Og det skal ikke bare accepteres fordi det er smart og virker.

Eller?

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. december 2007 af kleif

Næh nej, den er god nok. Det er vores gamle ven Euler der har udledt den.

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. december 2007 af Benjamin. (Slettet)

Hvis c_2 = x - y·i er det konjugerede tal til c_1 = x + y·i, får du:
A = (x + y·i) + x - y·i = 2x
B = ((x + y·i)-(x - y·i))·i = (2y·i)·i = -2y

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. december 2007 af kleif

Den grundlæggende udledning hedder:
e^(iw) = cos(w) + i*sin(w)

og modsat:

e^(-iw) = cos(w) - i*sin(w)

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2007 af kleif

#6
Selvfølgelig, men hvor har du den oplysning fra, at de skulle være kompleks konjugerede?

Brugbart svar (0)

Svar #9
14. december 2007 af Benjamin. (Slettet)

#8 Ingen steder. Det var bare en idé, da der blev spurgt til hvordan c_1 og c_2 kan vælges, så A og B kan være reele, når c_1 != c_2. #6 var blot et eksempel/tilfælde. Dermed ikke sagt og slet ikke bevist(!) at de nævnte tilfælde er de eneste, som medfører at A og B er reele.

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. december 2007 af kleif

Det er klart. Jeg forstår også bare sætningen:
"Vælges A og B reelle, da vil ..." - til at c1 og c2 ikke nødvendigvis behøver have værdier hvor Im{c1} går ud med Im{c2} ved ((x + y·i)-(x - y·i))·i.

Man kunne selvfølgelig også være tilbøjelig til at tro det, da de 2 eksponentielle faktorer er kompleks konjugerede.

Brugbart svar (0)

Svar #11
14. december 2007 af mathon

#4
se
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=440827

Svar #12
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

Tak folkens ! Tror det hjalp.

#5 Du siger altså, at det er bevist? Hvorfor skriver alle lærebøger så, at det er en definition? Har du evt. et link til det bevis?

Brugbart svar (0)

Svar #13
14. december 2007 af kleif

Det er også en definition. Min fejl. Jeg er ikke matematikker, men bruger blot matematikken i den fysiske sammenhæng. Så så længe tingene passer, er jeg tilfreds :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler

Svar #14
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

#13: Tak for linket. Det kigger jeg lige på. Hehe, ja, jeg er jo bare studerende, men på matematisk linie - så jeg vil sgu også have at tingene er rigtige og ikke bare virker. ;) :D :)

Svar #15
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

Haha, nu fatter jeg da først ingenting. Nu kan jeg slet ikke se, hvorfor det er en definition. Det bliver jo bevist lige her: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus og endda ret så genialt. :)

Brugbart svar (0)

Svar #16
14. december 2007 af sigmund (Slettet)

Tja, da Euler kendte til Taylorrækker, har han nok opdaget formelen den vej (mit gæt). Han opdagede formelen i 1740, under studiet af differentialligninger af typen y'' + y = 0 (kilde: Hairer & Wanner, Analysis by Its History).

Svar #17
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

Okay. :)

Men hvorfor kalder man det så stadig en definition, når det nu er bevist?

Brugbart svar (0)

Svar #18
14. december 2007 af sigmund (Slettet)

#17,

Hvor står det, at Eulers formel er en definition?

Svar #19
14. december 2007 af JesperJuul (Slettet)

Bl.a. i bogen "Komplekse tal" af Jens Carstensen.

Han skriver ligefrem:
"Vi understreger, at dette er en definition, og at sætning 1 om den reelle ekspotentielfunktion tjener til at vise, at defintionen er fornuftig".

Det synes jeg virker total misvisende, når wikipedia giver udemærkede beviser for sætningen. :s

Brugbart svar (0)

Svar #20
14. december 2007 af sigmund (Slettet)

Ja, den gode Carstensen ved utvivlsomt, at formelen kan vises vha. Taylorrækken for exponentialfunktionen. Da man imidlertid ikke underviser i rækkeudviklinger af funktioner i gymnasiet (er bogen "Komplekse tal" ikke en lærebog til gymnasiet?), vælger han at sige, at det er en definition (uden at vise, hvad giver anledning til definitionen).

Hvad siger iøvrigt den "sætning 1", han henviser til?

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.